удивительный мир подвижных, постоянно меняющихся многогранников и движущихся человечков. Эта работа захватила меня и моих одноклассников.
Вложение | Размер |
---|---|
fleksagony.doc_tezisy.doc | 26.5 КБ |
npk.doc | 127 КБ |
«Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны. Флексманы.»
Михайлова Виктория, ученица7в класса,
руководитель Александрова Т.П.
Тезисы:
Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень необычный и удивительный предмет для изучения.
Я приглашаю вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.
Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.
tо flex(англ.) - складываться, сгибаться, гнуться.
Открытие произошло в конце 1939 года Артуром Стоуном,23-х летним аспирантом из Англии. Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» - из-за шестиугольной формы, «флексагонами» - из-за их способности складываться.
Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом.
Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу.
Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32.
Флексор –вращающиеся кольца тетраэдров. Эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.
Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров.
Работа над флексагонами и флексорами расширила мои знания в математике. Я познакомилась с ранее незнакомым мне видом флексагонов, увидела математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Я также поняла, что эта другая сторона математики взаимосвязана с той чистой, обыденной математикой. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д.
Сама наглядно увидела, как работают флексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета. Увидела, что кольцо тетраэдров с 6 звеньями – жесткое, с 10 звеньями принимает симметричную форму, в виде звезды. С нечетным количеством звеньев кольцо принимает асимметричную форму, при 22 звеньях и больше кольца могут заузливаться.
V научно-практическая конференция школьников
«Знания - нравственная сила, Юниор»
«Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны. Флексманы.»
Выполнила:
Михайлова Виктория
Ученица 7 «В» класса
МОУ «СОШ №26»
Руководитель:
Александрова Т.П.
Учитель математики
МОУ «СОШ №26»
г. Зима 2010
Содержание:
1. Введение _______________________________________________
2. История открытия________________________________________
3. Складывание гексагексафлексагона_________________________
4. Путь Таккермана_________________________________________
5. Изготовление флексора____________________________________
6. Спор о существовании флексора____________________________
7. Магическое кольцо из восьми тетраэдров_____________________
8. Изготовление и свойства флексмана__________________________
9. Литература_______________________________________________
Цели:
Изучить мир флексагонов, флексоров и флексманов
Задачи:
1. Введение
«Предмет математики настолько серьёзен,
что полезно не упускать случаев делать его
немного занимательным»
Блез Паскаль
Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень необычный и удивительный предмет для изучения.
Я приглашаю вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.
Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство-различие в формате английских и американских блокнотов, - флексагоны, возможно не были бы открыты и по сей день и многие математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.
2. История открытия.
Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун,23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнот, что бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник, взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного треугольника были бы разного цвета, то после их перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех.
Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» - из-за шестиугольной формы, «флексагонами» - из-за их способности складываться. Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагон, так как у него было три поверхности. Вторая, не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» - шесть тоже означает число поверхностей этой модели).
От греческого «гекс», что означает шесть.
То flex(англ.) - складываться, сгибаться, гнуться.
Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Х. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок.
Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях "двойного действия" - устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках.
3. Складывание гексагексафлексагона.
Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги, разделенную на девятнадцать равносторонних треугольников. В треугольнике с одной стороны нужно вписать цифры 1, 2, 3. девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга – 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. в результате у нас получится заготовка гексогексофлексагона. Перегнув его по линиям ab и cd, получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.
Если все сделано, верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне – цифра 2. в таком виде гексофлексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника, согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона, при этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, обнаружатся и другие поверхности, однако поверхности с цифрами 4, 5, 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2, 3.
4. Путь Таккермана
Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон, за какой либо угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексогексофлексагонов за один цикл за двенадцать перегибаний. Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы. Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов.
Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона.
5. Изготовление флексора
Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.
Дж. М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10 (рис. 4). Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй,
еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться.
Для изготовления модели кольца достаточно одного листа. В случае n = 6, нужно разместить фигуру, состоящую из 24 правильных треугольников и 9 клапанов. Вырезав ее, нужно сделать сгибы по внутренним линиям – по штриховым линиям вверх, а по пунктирным вниз – и приклейте клапаны в соответствии с буквенными обозначениями.
6. Спор о существовании флексора.
Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений.
Во - первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником.
Чтобы избежать всяких сомнений, при поиске флексоров можно было бы ограничиться только выпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками, лежащими по одну сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключала существования невыпуклых флексоров, но многие математики считали, что и таких флексоров тоже не существует.
7. Магическое кольцо из восьми тетраэдров.
Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132).
8. Изготовление и свойства флексмана
Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров.
Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз (рис 5). А затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии рисунка 5, б – изображен на рисунке 5, в, окончательный результат – на рисунке 5, г. Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман.
Самое примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексмана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелкими шажками спускаться по ней. Каждый из флексманов обладает своеобразным характером или, уж во всяком случае, своеобразной походкой.
Работа над флексагонами и флексорами расширила мои знания в математике. Я познакомилась с ранее незнакомым мне видом флексагонов, увидела математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Я также поняла, что эта другая сторона математики взаимосвязана с той чистой, обыденной математикой. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д.
Сама наглядно увидела, как работают флексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета. Увидела, что кольцо тетраэдров с 6 звеньями – жесткое, с 10 звеньями принимает симметричную форму, в виде звезды. С нечетным количеством звеньев кольцо принимает асимметричную форму, при 22 звеньях и больше кольца могут заузливаться.
Приложение
Флексманы – это существа населяющие мир флексагонов и флексоров. Примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям.
Получение флексора
Получение гексафлексагона
Чтобы сложить гексагексафлексагон (берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников.
В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на первой части рисунка порядке цифры 1,2,3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на второй части рисунка пронумеровать цифрами 4,5,6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга - 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рисунке:
Перегнув ее по линиям ab и cd,
получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.
Вращающееся кольцо тетраэдров
Литература
1. Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)
2. Долбинин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников. / Квант, №5, 1988. с.6-15.
3. История создания флексагонов // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)
4.Многогранник-флексор, предложенный Клаусом Штеффеном. / Квант, №5, 1988. Обложка.
5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. – М.: МИРОС, 1995. с.42-45.
6. Панов А.А. Флексагоны, флексоры, флексманы. / Квант, №1,1989. с.10-14.
Загадка старого пирата или водолазный колокол
Стрижонок Скрип. В.П. Астафьев
Зимняя ночь. Как нарисовать зимний пейзаж гуашью
Как нарисовать зайчика
Волшебные звуки ноктюрна