Исследовательская работа "Простые числа"

Муницимальное общеобразовательное учреждение

 Снежногорская средняя общеобразовательная школа

Учебно-исследовательская работа

«Простые числа»

выполнила: Пакулова Катя,

 ученица 6 класса.

руководитель:  Максиян Ольга Валерьевна, учитель математики

Ноябрь 2011г.

Цель работы:  Составить таблицу простых чисел и исследовать  их

свойства.

Задачи: 

1. Собрать и изучить материал о простых числах;
2. Рассмотреть закономерности и свойства в ряду простых чисел;
3. Найти простые числа, больше числа 997.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Метод «решето Эратосфена»
3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: простые числа.

Предмет исследования: таблица простых чисел.

Актуальность

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается не решенной. Как сказал греческий геометр Евклид:  самого большого простого числа не существует.

Введение

Впервые о простых числах я узнала в 6 классе  на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Меня заинтересовало понятие «простые числа» и я решила изучить историю  возникновения простых чисел.

Теоретические сведения

Из школьного учебника математики 6 класса я узнала следующие определения:

Простое число -  это натуральное число , которое имеет только  два делителя ( единицу и само это число).

Составное число- это натуральное число , которое имеет более двух делителей.

 Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным , ни к простым числам.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Например: 756=2*2*3*3*3*7

Из истории простых чисел

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено  в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики , из которых строятся остальные натуральные числа.

Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет  вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Для отыскания простых чисел Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу , которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 ( числа, кратные 2, т.е. 4,6,8, и т.д.) . Первым оставшимся числом после 2 был 3. Далее вычеркивались все числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д. В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа. ( рис.1)

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким способом в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью  вычислительных машин.

Используя метод Эратосфена я составила таблицу простых чисел до 100. (плакат – таблица).(рис.2). На форзаце учебника «Математика 6» автора Н.Я.Виленкина представлена таблица простых чисел до 997 (рис.3).

Закономерности и свойства простых чисел

Количество простых чисел до 1000: 168 чисел.

Простые числа от 2 до 100:  25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97)

Простые числа от 100 до 200: 21 число (101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,  173, 179, 181, 191, 193, 197, 199)

Простые числа от 200 до 300:  16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400: 16 чисел (307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397)

Простые  числа от 400 до 500: 17 чисел (401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499)

Простые числа от 500 до 600: 14 чисел (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599)

Простые числа от 600 до 700: 16 чисел (601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691)

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797)

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887)    

Простые  числа от 900 до 1000:  14 чисел (907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)

Числа - близнецы до 500:   3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241;  269-271;  281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463.  (24 пары.)

Числа - близнецы от 500 до 1000:  521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883.  (11 пар.)

Всего до тысячи 35 пар чисел-близнецов.

Числа- палиндромы: 16 чисел (11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 ).

Симметричные себе простые числа:  107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,

157 – 751, 167 – 761, 179 – 971,  199 -991,   337- 733,  347 – 743,

359 – 953,  389 – 983, 709 – 907,   739 -937,  769 – 967  (14 пар)

Вывод: количество простых чисел постепенно уменьшается.

Простыми числами  занимался и древнегреческий математик Евклид (IIIв. до н.э.). В своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Отсюда следует гипотеза: мы можем найти  простое число больше  997. Но самого большого  простого числа не сумеем найти, т.к. они  бесконечны.

Практическая часть

Нахождение 92 простых чисел методом «Решето Эратосфена» и составление таблицы ( рис.4)

Заключение

В  работе  «Простые числа» я изучила историю, закономерности и  свойства простых чисел. Подтвердила гипотезу, что  указать самое большое простое число невозможно, т.к. они бесконечны.

В ходе  работы освоила метод Эратосфена и нашла 92 простых числа, больше числа 997.

Литература

1. Учебник «Математика 6 класс», Н.Я.Виленкин, В.И. Жохова и др.изд. «Мнемозида», Москва 2007
2. Школьная энциклопедия «Математика. Том 11». Издательство «Аванта+»., М. 2003
3. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.
4. Ресурсы интернет

Рис.4