Фәнни - эзләнү эше "Саннар дөньясында"

                                              Кереш.

      Чыгышымның темасы “Саннар дөньясында” дип атала.

 Бу эшемне  мәктәп программасы материалларына таянып әзерләдем.    Максатым – дәрестә алган белемнәрне тирәнәйтү, өстәмә белемнәр белән тулыландыру, программа буенча үтелә торган кайбер темаларны өйрәнгәндә уңайлы чишү ысуллары тәкъдим итү.

       Иң беренче тапкыр кулга математика дәреслеге алган көнне үк, без саннар дөньясына керәбез.Алга таба саннар дөньясы тагын да киңәя, байый.         

5нче сыйныфта

1. натураль саннар,
2. вакланмалы саннар,
3. катнаш саннар төшенчәләрен  өйрәнсәк,

6 нчы сыйныфта

     -    так һәм җөп саннар,

     -    гади һәм төзелмә саннар,

     -    үзара кире  саннар,

     -    уңай һәм тискәре  саннар,

     -    капма-каршы саннар,

     -    бөтен  саннар,

     -    рациональ саннар,

8 нче сыйныфта

    -    иррациональ саннар,

    -    реаль саннар,

 алга таба,

4.   комплекслы саннар һ.б өйрәнелә.

 Бу эшемне әзерләгәндә түбәндәгеләрне максат итеп куйдым:

- саннарның тагын бик күп төрле исемнәре булуын күрсәтү;

- фән күзлегеннән саннарның кеше тормышына бәйлелеге;

- аерым саннарның үзенчәлекләренә тукталу;

- исәпләүдә уңайлы ысуллар.

   Чыгышымны әзерләгәндә  мәктәп дәреслекләренә, “Математика в школе”, “Мәгариф”  журналларына,”1ое сентября” газетасына, өстәмә әдәбиятка, интернетка мөрәҗәгать иттем.        

                                     Төп өлеш.

         Мин сезгә үзебез өйрәнгән саннарның төрләрен санап үттем.Әмма әле, программага мәҗбүри  итеп кертелмәсә дә, гадәти булмаган исемле саннар бар.  Хәзер шуларның кайберләренә тукталып үтәм.

        5 нче сыйныфта без күбурынлы саннарны укырга өйрәндек.Ә мин сезне великан саннар белән таныштырып үтәм. Аларны укыр өчен һәрберсенең классын белергә кирәк. Мәсәлән:

305 642 975 817 612 493 579 612 785 936 405 227

        Бу сан болай укыла: 305 дециллион 642 нониллион 975 октиллион 817 септиллион 612 секстиллион 493 квинтиллион 579 квадриллион 512 триллион 785 миллиард 936 миллион 405 мең 227.

        Алдагысы – камил саннар.

6 санының бүлүчеләрен язабыз: 1,2,3.

12 санының бүлүчеләре: 1,2,3,4,6.

28 саныныкы : 1,2,4,7,14.

        Һәр санның бүлүчеләре суммасын табабыз:

1+2+3=6.

1+2+3+4+6=16.

1+2+4+7+14=28.

Әгәр санның бүлүчеләре суммасы (үзеннән башка) бу санның үзенә тигез булса, мондый саннар камил саннар дип атала.Димәк, 6 һәм 28 -  камил саннар.Камил саннарга 6, 28, 496, 8128  һ.б. керә. Бүгенге көндә барлыгы 27 камил сан булуы билгеле.

         Хәзер мин сезне дус саннар дип аталучы саннар белән таныштырып үтәм.

         220 һәм 284 саннарын дус саннар дип атыйлар.Чөнки 220 санының бүлүчеләре суммасы 284 кә тигез, ә 284 нең бүлүчеләре суммасы 220 гә тигез.Һәркайсы икенче сан бүлүчеләре суммасына тигез булган ике санны  ( бу санның үзен исәпкә алмыйча)  дус саннар дип атаганнар.

 18 гасырда атаклы математик Леонард Эйлер 65 пар дус саннар  тапкан. Дус саннарның кайберләре:

1.    220  һәм 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
2.    1184 һәм 1210 (Паганини, 1860)
3.   2620 һәм 2924 (Эйлер, 1747)
4.     5020 һәм 5564 (Эйлер, 1747)
5.    6232 һәм 6368 (Эйлер, 1750)
6.    10744 һәм 10856 (Эйлер, 1747)
7.    12285 һәм 14595 (Браун, 1939)
8.    17296 һәм 18416 (Аль-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, 1636)
9.      63020 һәм 76084 (Эйлер, 1747)
10. 66928 һәм  66992 (Эйлер, 1750)
11. 67095 һәм  71145 (Эйлер, 1747)
12. 69615 һәм  87663 (Эйлер, 1747)
13. 79750 һәм 88730 (Рольф)

 Ләкин әлегә кадәр дус саннарны табу ысулы билгеле түгел.

        Чираттагысы- игезәк саннар. Гади саннар таблицасына күз салсак, монда  бер-берсеннән 2 генә берәмлеккә аерылып торган саннар бар. Аермалары 2 булган шушы гади саннарны  игезәк саннар дип атаганнар.

         Әгәр дә игътибар иткән булсагыз, таблицада аларны аерым төс белән күрсәткәннәр. Менә аларның берничәсе: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73) (101,103), (107,109), (137,139, (149,151), (179,181), (191, 193), (197,199), (227,229), (239,241)...һ.б.  

Тагын әле фигуралы саннар дигән саннар да бар икән.Алар берничә төргә бүленә:

1. Сызыкча саннар – тапкырлаучыларга таркалмый торган саннар, ягъни,  1 белән тулыландырылган гади саннар:

                                   1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,......

        2. Яссы саннар -  ике тапкырлаучы рәвешендә күрсәтелә торган саннар:

                                 4,6,8,9.10,12,14,15,.....

        3. Тәнле саннар (телесные числа)- өч тапкырлаучы рәвешендә күрсәтелә торган  саннар:

                                  8,12,18,20,24,27,28,...

        4. Күппочмак саннар.

Алар үзләре берничә төргә бүленә:        

       а) өчпочмак саннар дип ,өчпочмак рәвешендә урнашкан нокталар санына туры килә торган саннарны атаганнар.

     Өчпочмак саннар: 1,3,6,10,15, 21,28, 36,45,55,...

     ягъни,  n(n+1)  рәвешендәге саннар.

                        2

     Шунысы да кызыклы:

5. һәр җөп камил сан - өчпочмак сан.

б) Квадрат саннар дип квадрат рәвешендә урнашкан  нокталар санына туры килә торган саннарны атыйлар.

Квадрат саннар:   1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,... n2.

Теләсә кайсы эзлекле 2 өчпочмак сан – квадрат сан.

в) Бишпочмак саннар дип бишпочмак рәвешендә урнашкан нокталар санына туры килә торган саннарны атыйлар.

Бишпочмак саннар:1,5,12,22,35,51,70,92,117,145...n(3n-1) .

                                                                                        2

г) k-почмак саннар:

1,k,… n+(k-2)* n(n-1).

                                  2

5) Математикада Пифагор саннары дип аталучы саннар да бар.

    х2+y2=z2    тигезлеген кәнәгатьләндерүче натураль саннардан торган өчлекне  пифагор саннары дип атаганнар.

        Сез экранда Пифагор саннары дип аталган кайбер өчлекләрне күрәсез

(3,4,5)  (5,12,13)  (8,15,17)  (6,8,10)  (9,12,15)  (12,16,20) (15,36,39)   (15,20,25)  (20,21,29)   (7,24,25)   (18,24,30)

(12,35,37)   (24,32,40)  ( 9,40,41)  (14,48,50)  (21,38,35)... һ.б.

        Яклары Пифагор саннарына тигез булган өчпочмак турыпочмаклы була.

        Саннар турындагы фән – нумерология дип атала.Ул борынгы фәннәрнең берсе.

        Пифагор теорияләренә нигезләнгән хәзерге заман нумерологиясе санлы һәм алфавитлы кодларга өстенлек бирә.

        Пифагор һәм аның укучылары барлык саннарны да 1 дән алып 9 ны  да кертеп, цифрларга кадәр кыскарттылар, чөнки башка барлык саннар да шушы цифрлар ярдәмендә барлыкка килә.Хәзерге заман нумерологиясе шушы системаны кабул итте. Мәсәлән: 125 санының символы булып 8 саны тора (1+2+5=8).

Ә 684371 санының символын ачыклау өчен бу санның  цифрларын кушабыз:

6+8+4+3+7+1=29. Аннан соң 2+9=11

1+1=2. Димәк бу санның символы: 2.

Нумерологиядә  тормыш саннары дигән саннар бар.Аның иң гадие- туган көн саны.Һәркемнең үз символы, үзе туган көн  санын билгели торган саны бар.Моны туган көн, ай, һәм туган елның  цифрлар суммасын кушып табалар.Мәсәлән, туган көн датасы: 24.06.1958. булса, бу кешенең символы (2+4+6+ +1+9+5+8=35.  3+5=8)  8 саны була.

Шулай ук исем санын да билгелиләр.Исем санын билгеләү өчен түбәндәге таблицаны кулланырга мөмкин.        

Исем саны туган көн саны белән тәңгәл килергә яки аңа яраклашырга тиеш.

Шуңа күрә күп кенә язучылар, актерлар, башка иҗат профессиясе кешеләре бу саннарны туры китерү өчен үзләренә псевдоним алалар.        

        Һәр кеше өчен дә уңай көннәр һәм уңайсыз көннәр була.Һәртөрле күңелсезлекләрне кисәтү өчен моны исәпләп белергә мөмкин: аны кызыксындырган көн санына туган көн  санын һәм исем санын кушып, бу санны табабыз. Ә фәндә һәр сан өчен аңлатма бар.

        Күргәнебезчә саннар дөньясы никадәр кызыклы һәм мавыктыргыч.

        9 санын карап үтик әле

    9*1=9

    9*2=1+8=9

    9*3=2+7=9

    9*4=3+6=9

    9*5=4+5=9

    9*6=5+4=9

    9*7=6+3=9

    9*8=7+2=9

    9*9=8+1=9

       Күрәбез, һәр тапкырчыгышның цифрлар суммасы -  9.

   Хәзер тапкырчыгышларны кушып, сумманы  карыйбыз: 9+18+27+36+45+54+63+72+81=405.    4+0+5=9.        

 Тагын 9 килеп чыкты.

Барлык цифрларны кушабыз:

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.       4+5=9.

 Барлык цифрлар суммасы д а – 9.

Тагын бер кызыклы мисал:

Әгәр төрле тәртиптә барлык цифрларны язып чыксак, аннан соң шушы санны кире тәртиптә язып,аерманың цифрлар суммасын исәпләсәк,һәрвакытта да 9 чыгар. Бу кагыйдә теләсә нинди күбурынлы сан өчен дә дөрес. Мәсәлән,

73468215-51286437=22181778.  

2+2+1+8+1+7+7+8=36.  3+6=9

9 санының шушы үзлеген төрле математик фокуслар төзү өчен дә кулланырга мөмкин.Мәсәлән,шушындый бирем:

Теләсә нинди күбурынлы сан языгыз. Шуны кире тәртиптә языгыз һәм зуррагыннан кечерәген алыгыз.Аермадан бер цифрны сызыгыз да калган цифрларны миңа әйтегез. Мин сезгә сызылган цифрны әйтеп бирәм.

    “Саннарның бүленүчәнлек билгеләре” темасына тукталып китәм.3 кә бүленүчәнлек билгесен искә төшереп китик әле:

-сан 3 кә калдыксыз бүленсен өчен, аның цифрлар суммасы 3 кә бүленергә тиеш.Күбурынлы саннар өчен бу ысул уңайсыз. Мәсәлән, 62 735 418 092 765 саны 3 кә бүленәме, дигән сорауга җавап бирү өчен, мин мондый ысул тәкъдим итәм:

 Иң беренче чиратта мин бу санның 3 кә калдыксыз бүленә торган цифрларын сызып чыгам, аннары суммасы 3 кә бүленә торган 2 шәр цифрны сызам. Калган 1 яки 2 цифрның суммасы буенча санның 3 кә бүленүен ачыклыйм.

(сызыла – 6, 3, 9, 6, аннары – 27, 54, 18, 27). Калган цифр - 5

5 саны 3 кә калдыксыз бүленми , димәк, бу сан 3 кә бүленми.

    9 га бүленүчәнлек билгесен дә шушы ысул белән тикшереп була.

      8 гә бүленүчәнлек билгесен карап китик. Гомуми кагыйдә:  сан 8 гә калдыксыз бүленсен өчен,

 а) ул җөп сан булырга тиеш;

 б) ул санның соңгы өч цифрыннан төзелгән өчурынлы сан 8 гә бүленергә тиеш.

          Ә мин сезгә тагын да гадиерәк ысулны тәкъдим итәм:

- әгәр санның  йөзләр разрядында җөп сан булса,бу санның соңгы ике цифрыннан төзелгән икеурынлы санның 8 гә бүленүе җитә;

- әгәр йөзләр разрядында так сан булса,соңгы 2 цифрыннан    төзелгән икеурынлы санга 4 не кушудан барлыкка килгән санның 8 гә бүленүе  кирәк.

Түбәндәге саннарның кайсылары 8 гә калдыксыз бүленә:

1)   664719472                                 6)     1678332                  

2)   40533736                                   7)    12844540

3)   4374343                                     8)     889588872

4)   610724724                                 9)     64137

5)   13488320                                  10)    145054.

Беренчедән, бу сан җөп сан булырга тиеш.Димәк, 3 нче һәм 9 нчы саннар бүленми,чөнки – так саннар. Икенчедән,әгәр йөзләр разрядына җөп сан булса,бу санның соңгы ике цифрыннан төзелгән икеурынлы санның 8 гә бүленүе җитә (1 нче,8 нче,10 нчы саннар бүленә), әгәр йөзләр разрядында так сан булса,соңгы 2 цифры белән төзелгән икеурынлы санга 4 не кушкач 8 гә бүленә торган сан чыгарга тиеш.(2 нче,5 нче саннар бүленә).

  Мин шулай ук 7гә, 11гә, 13кә, 19га, 23кә, 29га, 31гә бүленүчәнлек

  билгеләрен дә өйрәндем.

   Бүленүчәнлек билгеләре:

 а) 7 гә бүленүчәнлек.

ав= 10а+в=7а+(3а+в).

ав:7, әгәр (3а+в) саны 7 гә калдыксыз бүленсә.

б) 11 гә бүленүчәнлек.

ав=10а+в=11а-(а-в).

ав:11, әгәр (а-в) саны 11 гә калдыксыз бүленсә.

в) 13 кә бүленүчәнлек.

ав=10а+в=13а-(а-в).

ав: 13, әгәр (3а-в) саны 13 кә калдыксыз бүленсә.

104:13, чөнки 3*10-4=26:13.

г) 17 гә бүленүчәнлек.

әгәр сан билгеле бер санга бүленсә, бу саннарның кабатлысы да аңа бүленә.Шуңа күрә 17 гә бүленүчәнлектә без 2ав ның бүленүчәнлеген тикшерәбез.

2ав=20а+2в=17а+(3а+2в).

Әгәр (3а+2в) саны 17 гә калдыксыз бүленсә, бирелгән сан да аңа бүленә.

102:17, чөнки 10*3+2*2=34:17.

д) 19 га бүленүчәнлек.

2ав=20а+2в=19а+(а+2в).

Әгәр (а+2в):19, моннан ав:19.

е) 23 кә бүленүчәнлек.

2ав=20а+2в=23а-(3а-2в).

Әгәр (3а-в):23 моннан ав:23.

ж) 29 га бүленүчәнлек.

3ав=30а+3в=29а+(а+3в).

Әгәр (а+3в):29, моннан ав:29.

з)31 гә бүленүчәнлек.

3ав=30а+3в=31а-(а-3в).

Әгәр (а-3в):31, моннан ав:31.

Шулай ук икеурынлы саннарны тапкырлауны да исәпләүдә уңайлы ысуллар тәкъдим итәм:

1. 5 цифрына тәмамланган икеурынлы саннарны квадратка күтәрү.

                (10а+5)2=100а2+100а+25=100а(а+1)+25

                а*(а+1) – эзләнелгән квадратның йөзләр саны.

                25- соңгы ике цифры.

                352=1225              (3*4=12)

                952=9025              (9*10=90)

2. Теләсә нинди икеурынлы санны квадратка күтәрү.

                    (ав)2=(10а+в)2+100а2+20ав+в2=100а2+10(2ав)+в2

                      432=1849

                      1)  32=9

                      2)  (4*3)*2       (4не язабыз, 2се күңелдә)

                      3)   42=16           16+2=18

3. Икеурынлы саннарны тапкырлау.

ав*сd=(10а+в)*(10c+d)=100ac+10вc+10ad+вd=100ас+10(вс+аd)+вd

                     32*46=1472

                     1)2*6=12                  (2не язабыз, 1се күңелдә)

                     2) 2*4+3*6+1=27     (7не язабыз, 2се күңелдә)

                     3)3*4=12                  12+2=14

4. Берәмлекләр суммасы 10га тигез булган бер үк дистә эчендәге саннарны тапкырлау.

                      ав*ас                        в+с=10

                      ав*ас=а*(а+1)*100+в*с

                      56*54=3024

                      93*97=9021

                 81*89=7209

5. Соңгы цифры 1 булган икеурынлы саннарны тапкырлау.

                 21*71=1491              2*7*100+(2+7)*10+1

                 а1*в1=(10а+1)*(10в+1)=10ав+10а+10в+1=100ав+10(а+в)+1

      Чыгышымны бөек математик Близ Паскальның сүзләре белән тәмамлыйсым килә: “Математика предметы шул дәрәҗәдә җитди ки, аны аз гына булса да кызыклы итү мөмкинлекләрен ычкындырмау файдалы.”

    Моның өчен математиканы яратыгыз,өйрәнегез, эзләнегез.