Творческая работа " Применение формулы Пика"

УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Применение формулы Пика

                                                                          Автор работы: Старкова Кристина

                                                                    учащаяся 8 «Б»  класса

                                                                                МАОУ СОШ №11Чайковский

                                                                             Руководитель:Батуева Л,Н.,

                                                                учитель математики  МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год

СОДЕРЖАНИЕ.

I. Введение……………………………………………………. 2

II. Формула Пика

          2.1.Решетки .Узлы………………………………………… .4

2.2.Триангуляция многоугольника………………………5

          2.3. Доказательство теоремы Пика………………………6 

         2.4 Исследование площадей многоугольников…………9

        2.5. Вывод…………………………………………………..12

     III.Геометрические задачи с практическим содержанием…13

     IV. Заключение………………………………………………..14

    V. Список используемой литературы………………………..16

1. Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении  темы «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи , отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии . Это  задачи на клетчатой бумаге.  У  нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев  такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я  приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.     Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

       Мы определили:

  Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

  Предмет исследования: задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

1. Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

     Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

1. Подобрать необходимую литературу
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
4. Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения  вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

1.     Гипотеза:. Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

       При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые  геометрические сведения, которые известны всем.

II. Формула Пика

2.1.Решетки .Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки –узлами решетки.

Внутренние узлы   многоугольника - красные.

  Узлы  на гранях  многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых  лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

2.2.Триангуляция многоугольника

Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2. а) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n-угольника).

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный — любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

2.3. Доказательство теоремы Пика. 

Пусть В — число целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на его границе,  — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г2-1

Пример. Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7, (синие точки, не забудем о вершинах!), поэтому  квадратных единиц.

1.          .

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и .

2)

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны  и . Имеем в этом случае ,В=(а-1)(b-1)   , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика, 

3)

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами  и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат  целочисленных точек. Тогда для этого случая В=а-1)b-1 , 2  Г=Г=2a+2b 2+с-1 и получаем, что 4)Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.                                                                                                  Пусть многоугольник  и треугольник  имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как  и  имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим B=MT=BM+BT+c-2 — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 — число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем : BM+BT+c-2 , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Так как мы предположили, что теорема верна для  и для  по отдельности, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+ГМ2-1)+В(T)+ГT2-1)=( В(М)+ В(T))+( ГМ2+ГT2)-2=Г(MT)-(c-2)+B(MT)+2(c-2)+22-2= Г(MT)+ B(MT)2-1.Тем самым, формула Пика доказана.

2.4 Исследование площадей многоугольников.

Вывод

1. Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика,я пришла к выводу ,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Итак,  моя гипотеза оказалась верной

III.Геометрические задачи с практическим содержанием .

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача  9. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле       Пика:  S = В +  - 1

        Рис. 10                     В = 8,  Г = 7.      S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²;     S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²                              

Задача 10. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой  1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В +  - 1

В = 7,  Г = 4.      S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

        Рис. 11             1 см² - 200² м²;     S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²                              

Заключение

         В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу , научилась работать в программе Notebook.        Узнала , что

       задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

        В результате моей  работы я расширила свои  знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.  

       Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке      Рассмотренные н задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

      Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010