Способы умножения

            МУНИЦИПАЛЬНОЕ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

              ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ  ШКОЛА  д. ЯВГИЛЬДЫ

     МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ГАФУРИЙСКИЙ РАЙОН РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

          СПОСОБЫ     УМНОЖЕНИЯ

           Учебно- исследовательская работа по математике

                     ученика 5-го класса  МОБУ ООШ д. Явгильды

                    ДАНИЛОВА  ТИМУРА   ИВАНОВИЧА

                   Руководитель:  учитель     математики I категории  

                                              Миниязова Л.А.

                                                         2010 год

                                                  январь

Оглавление:

1.  Введение.

2. Основное содержание.

2.1. Метод решетки.

2.2.Умножение чисел по способу русских крестьян.

2.3. Способ «крестика» или «Хиазм».

2.4. Рациональное умножение на 4,5,8,9,11,111,25 и на 125.

3. Заключение.

4. Литература.

МОЙ ДЕВИЗ:

МОЗГ

ХОРОШО          УСТРОЕННЫЙ

СТОИТ            БОЛЬШЕ,

ЧЕМ    МОЗГ

ХОРОШО      НАПОЛНЕННЫЙ.

                                      М. Монтень

                                           Введение

         Курс математики располагает широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры.  Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий в начальном обучении важнейшее место всегда занимало формирование у школьников вычислительных навыков и умений. Сегодня значимость названных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники, использование которой, несомненно, облегчает процесс вычислений. Однако МК не всегда может оказаться под рукой, да и пользоваться им без осознания вычислительных навыков невозможно. Из сказанного следует, что владение навыками вычислений необходимо, ведь своя голова надежней, чем самые современные  вычислительные средства.

    Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема.   Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, раскрываются приемы устных и письменных вычислений.

     Я остановлюсь более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность.  Рациональность вычислений— это вычислительные операции из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».    

    Применение рациональных вычислений воспитывает у меня  интерес к математике, вызывает желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами.

      Основное содержание

           Это мой первый опыт описать способы умножения, которым меня обучила моя учительница математики  Миниязова Лилия Ахметгареевна.

Я теперь знаю, что можно умножать числа  не только «столбиком», но и другими  методами можно это делать.

                               «   МЕТОД       РЕШЕТКИ »

    Для умножения чисел Мухаммед из  Хорезма предлагал  «метод решетки», который, пожалуй, проще, чем применяемый в школе.

      Пусть надо умножить 374 на 92. Начертим таблицу, и запишем над ней число 374 слева направо, а справа от нее – число 92 сверху вниз.

                                       3                  7                4

       В каждую клеточку запишем произведение цифр. При этом цифру десятков произведения запишем над косой чертой, а цифру единиц- под ней.

                                       3                  7                4

        А теперь будем складывать числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же окажется больше 10, то пишут только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляют к следующей сумме. В результате получим нужное произведение, которое равно 34408.

        УМНОЖЕНИЕ  ЧИСЕЛ  ПО СПОСОБУ

                    РУССКИХ   КРЕСТЬЯН

 Этот способ покажу на примере 47 * 68:

1. 68

1. 34

1. 17

1. 8

1. 4

1. 2

3008                          1

                    __________________________

                       188 + 3008 = 3196

  В левом столбике числа удваиваются, а в правом делятся на 2. В тех случаях, когда деление на 2 нацело невозможно, на 2 делят число, непосредственно предшествующее

( т.е.меньше на единицу). Чтобы найти произведение складываются числа левого столбика, соответствующие нечетному  частному. На примере такими частными являются 188 и 3008.

Существует еще один способ умножения, очень похожий на способ умножения  русских крестьян. Если  один из множителей оканчивается на 5, то один из множителей делим на 2, а другой умножаем на 2.  Например,  42*35= 21 * 70= 1470

                                                    43 * 15= 21,5* 30= 645

           СПОСОБ      КРЕСТИКА    или         ХИАЗМ

   В Индии широко использовался способ умножения чисел, называемый способом крестика или хиазм ( молния). Состоит он в том, что сразу находят цифры произведения одну за другой справа налево. Я вам покажу ,как это делается, на примере     47* 76.

1. 7

1. 6

_______________

                                    3    5            7           2

         Ищем цифру единиц произведения. Единицы могут получиться от умножения единиц множимого на единицы множителя, т.е. 7*6= 42, цифру подписываем под единицами, а 4 десятка запоминаем.

        Ищем десятки произведения. Они могут получиться от умножения десятков множимого на десятки множителя, что показано крестиком. Имеем 4* 6 + 7* 7= 73, да 4 в уме, всего 77 десятков. Пишем под крестиком 7, а 7 сотен запоминаем.

        Ищем  цифру сотен произведения. Сотни могут получиться от произведения десятков множимого на десятки множителя, как показано черточкой, т.е. 4* 7= 28, да в уме 7, всего 35 сотен, которые и пишем.

Умножение на 4 и на 8

       На 4 можно  умножать таким образом: данное число два  раза умножаем на 2.

Например, 43*4= 86*2= 176

Когда умножаем на 8, то данное число 3 раза умножаем на 2.

123*8 = 246*4 = 492*2 = 984

Умножение на 5

    Для того, чтобы умножать число на 5, надо это число разделить на 2 и полученному результату приписать 0:     86 * 5 = 430

    Если же  число не делится на 2, то к неполному частному  добавляем 5:     49*5 = 245

Умножение на 9

     Чтобы умножать число на 9, его надо сначала умножать на 10, потом  из полученного числа вычисть  данное число.  345 * 9 = 3450 – 345= 3 105

Умножение на 11

    А) Число умножать на 10 и прибавить это же число:   567 * 11 = 5670 + 567= 6237

    Б) Если двузначное число умножаем на 11, то  между цифрами этого числа вставить сумму  цифр этого числа:     34 * 11= 3(3+4)4= 374           78 * 11 = 7 (3+8) 8 = 818

Умножения трёхзначных чисел на 11

Для умножения трёхзначных чисел на 11 так же можно умножить трёхзначное или четырёхзначное число на 10 и к произведению прибавить это же число, т.е. употребить первый из рассмотренных приёмов умножения на 11.
Познакомимся с приёмом умножения трёхзначного числа на 11 при помощи второго способа, он вытекает из письменного приёма умножения на 11.

758∙11=8338.
справа нужно записать число единиц множимого, т.е 8, затем к 8 прибавить следующее за ним слева число 5;

5 + 8 = 13; запишем 3, а 1 держим в уме.
далее 1 в уме прибавляем к 5 и складываем со следующим числом слева, с 7;

6 + 7 = 13, 3 пишем, а 1 добавим к 7, получим 8.
Можно этот приём применять и для четырёх- пятизначных чисел (и с большим числом знаков)

137542∙11=1512962
При известной сноровке такой приём умножения на 11 может быть полезен.

Умножения двузначного числа на 111 так же полезно запомнить

35∙111=3885   Мы видим, что по краям стоят числа 3 и 5 , а посредине повторяются дважды сумма цифр 3 и 5.
Также можно рассмотреть приём умножения двузначного числа на 1111:

52∙1111=57772

Умножение на 25

   Для того, чтобы число умножать на 25, данное число  делим на 4 и умножаем на 100.

                   44 * 25 = 1100                    36 * 25 = 900

Если  же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток  умножаем на 25 и  к неполному частному приписываем  полученное произведение.

         65 * 25 = 1625    (ост 1,   1*25= 25)

         34*25 = 850        (ост 2,   2* 25=50)

         67*25 = 1675      ( ост 3, 3*25 = 75)

Умножение на 125

  Для того, чтобы число умножать на 125, данное число  делим на 8 и умножаем на 1000.

               328*125=  41000                       256 * 125=32000

Заключение

     Рассмотренные мною способы умножения не такие сложные и могут повседневно использоваться учащимися. Они познавательны и интересны.

    Я знаю, что существуют еще много интересных способов вычислений.      И я соберу целую коллекцию таких  примеров рационального вычисления.

Литература

1. Перельман.Я.И. Живая математика.-М.:Астрель:АСТ, 2005
2. Балаян.Э.Н.1001олимпиадная и занимательная задачи по математике. -3-е изд. – Ростов н/д:Феникс,2005
3. 3.Научно- педагогический и методический ежемесячный журнал «Учитель Башкортостана». № 4, 1998
4. 4.Чупиков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Методическое пособие.5-6 классы.- М.: ЭНАС,2004
5. 5.Фарков А.В.Математика.Олимпиады в школе.5-11 класс. – 4-е изд. –М.:Айрис-пресс,2005.