В работе представлены мало изучаемые в школьном курсе геометрии свойства многоугольников.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 740.5 КБ |
![]() | 704.5 КБ |
«МБОУ Михневская средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов»
«Преобразование Наполеоном многоугольников»
Авторы: Лобанова А., Темнова Я.
Ученицы 9 «А» кл.
Руководитель: Курбатова С.В
Михнево 2012г.
Содержание:
1. Введение
2. Преобразование Наполеона треугольников.
а) Преобразование Наполеона вложенных фигур.
б) Ядро линейного преобразования.
3. Преобразование Наполеона четырехугольников.
4. Преобразование Наполеона шестиугольников.
5. Заключение.
6. Список литературы.
Введение
Наполео́н I Бонапа́рт (15 августа 1769 - 5 мая 1821) — император Франции в 1804 – 1815 годах, великий французский полководец и государственный деятель, заложивший основы современного французского государства. Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств этому – несколько составленных им задач. Данная работа посвящена одной из них, которая перешла в геометрическое исследование, и работа приобрела более глубокий смысл.
Что же представляет собой преобразование Наполеона многоугольников? Преобразование Наполеона многоугольников сопоставляет многоугольнику новый многоугольник, вершины которого являются центрами правильных многоугольников, построенных на сторонах исходного. Возьмем, к примеру, произвольный n-угольник и построим внешним образом на его сторонах правильные n-угольники. Соединим центры правильных
n-угольников отрезками. В результате мы получим еще один n-угольник. Получившийся n-угольник и будет являться преобразованием исходной фигуры.
Преобразования некоторых n-угольников (например, 4-угольников, 6-угольников) обладают очень интересными свойствами. Некоторые из них будут представлены в данной работе.
Преобразование Наполеона треугольников
Теорема №1. Если на сторонах произвольного треугольника вне него поострить правильнее треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.
Доказательство: Докажем, что преобразованием произвольного треугольника является правильный треугольник. Нам дан треугольник ABC, на сторонах которого построены правильные треугольники АМВ, BNC и ACK. M1, N1 и K1 – центры этих треугольников. Соединим центры с 2 ближайшими вершинами треугольника АВС.
По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ1=М1В, ВN1=N1C, СК1=K1A; угол AM1B равен углу BN1C равен углу CK1A равен 120 градусам, а их сумма равна 360 градусам. Выделим шестиугольник AM1BN1CK1, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим.
Отбрасывая от шестиугольника AM1BN1CK1 треугольники M1AK1 и N1CK1 получаем четырехугольник K1M1BN1. BK1 делит данный четырехугольник на 2 равных треугольника. Углы BM1K1 и N1CK1 равны 90 градусам, а углы BM1N1 и B N1 M1 30. Из этого следует, что углы K1M1N1 и M1N1K1 равны 60 градусам. Значит мы можем сделать вывод, что треугольник K1M1N1 равносторонний (правильный).
Преобразование Наполеона вложенных фигур.
Рассмотрим треугольники, лежащие в координатной плоскости. В этом случае треугольник будет задаваться координатами 3 вершин. Построим такой треугольник. Введем систему координат с началом отсчета в точке О (0;0).
Отметим 3 точки А, В и С, которые будут являться вершинами треугольника АВС. Теперь мы построим преобразование для данного треугольника. Для этого на его сторонах построим правильные треугольники и соединим их центры. Таким образом мы построили N(ABC) (преобразование треугольника АВС).
Теорема №2. Преобразование Наполеона вложенных треугольников линейно.
Доказательство:
1)Докажем что N(АВС + А’B’C’) = N(ABC) + N(A’B’C’).
Построим произвольные треугольники АBC и А’B’C’.
Построим векторы, , . Точки А1, В1, С1 являются концами вышеназванных векторов. Эти три точки образуют треугольник который является “суммой” треугольников АВС и A’B’C’. Теперь построим преобразования Наполеона треугольников А1В1С1, АВС и A’B’С’. Получили, что преобразование Наполеона треугольника А1В1С1 является «суммой» преобразований Наполеона треугольников АВС и A’B’C’. Значит, N(АВС + А’B’C’) = N(ABC) + N(A’B’C’);
2)Докажем что N(nABC) = nN(ABC).
Построим треугольник АВС. Умножим координаты его вершин на число n. Например, если у точки А были координаты (х;у), то они станут равными (nх;nу), то есть точка А(х;у) переходит в точку А’(nх;nу); точно так же построим точки В’ и C’. Так мы «умножили» треугольник АВС на число n. Построим N(A’B’C’). Теперь построим N(АВС) и «умножим» его на число n. В результате преобразования наложились.
Значит, N(nABC) = nN(ABC).
Ядро линейного преобразования.
Ядро линейного преобразования – это множество, переходящее в нуль.
Ядро преобразования Наполеона треугольников – это правильные треугольники с центром в (0;0) с обратным порядком вершин. При изменении порядка вершин треугольника, его преобразование стремится превратиться в точку, а если и дальше придвигать вершину треугольника к противоположной вершине правильного треугольника, построенного на противолежащей стороне, то оно превратится в точку.
Теорема №3. Ядро линейного преобразования – линейное пространство.
Доказательство:
Преобразование Наполеона четырехугольников.
Теорема №4. Если на сторонах произвольного четырехугольника построить квадраты, то их центры образуют другой четырехугольник, в котором диагонали равны и перпендикулярны. Так как этим же свойством обладают и диагонали квадрата, то образовавшийся четырехугольник можно назвать квадратоидом.
Теорема №5. Преобразованием параллелограмма является квадрат.
Доказательство: ABCD – параллелограмм, F, G, H, K – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AD, AB, BC, DC.
1) Рассмотрим треугольники FGA и HKC:
Следовательно, что треугольник FGA равен треугольнику HKC (по 2 признаку).
2) Рассмотрим треугольники FDK и GBH:
Следовательно, что треугольник FGA равен треугольнику GBH (по 2 признаку).
Угол MAT и угол ADC в сумме дают 180° (т. к. односторонние углы при AB параллельна DC и секущей AD).
Угол MAT равен разности 180° и угла ADC.
Угол ADC равен разности 360° и суммы 180° и угла LDN.
Из этого можно сделать вывод:
MAT=180° - ADC = 180° - (180° - LDN) = LDN
Следовательно, что треугольник FDK равен треугольнику FAG (по 2 признаку).
Из пунктов 1, 2 и 3 можно вывести, что треугольники FAG, GBH, HCK и KDF равны. Следовательно, FG=HG=KH=FK.
4) Угол AGB равен сумме углов AGF и FGB.
Угол AGB равен 90° (т. к. диагонали квадрата перпендикулярны).
Угол FGB равен разности углов AGB и AGF, что равно разности 90° и угла
AGF
Из равенства углов FGA и HGB, то HGF равен 90°.
Также мы можем сказать, что углы KHG, KFG, HGF, HKF равны 90°.
Из выше всего сказанного мы можем сказать, что FGHK – квадрат.
Теорема №6. Преобразованием ромба является квадрат.
Теорема №7. Преобразованием равнобедренной трапеции будет являться четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, а смежные стороны равны, что называется дельтоид
Преобразование Наполеона шестиугольников
Шестиграмм – это шестиугольник, у которого противолежащие стороны равны и параллельны.
Построение шестиграммов.
Существует много способов построения шестиграммов. Рассмотрим один из них.
Отметим 4 точки, не лежащие на одной прямой (этими точками будем задавать шестиграмм) и соединим их отрезками. Найдем середину отрезка, соединяющего две крайние точки. Отметим его как центр поворота и повернем фигуру на –180°. В результате получили шестиграмм.
Преобразование шестиграмма.
Построим преобразование шестиграмма. По идее, нам надо построить на его сторонах правильные шестиугольники и их центры соединить отрезками, но можно упростить задачу. Построим правильные треугольники на сторонах шестиграмма, а затем отрезками соединим их вершины, ведь вершины правильных треугольников являются центрами правильных шестиугольников.
Вырожденные шестиграммы.
Вырожденным называют шестиграмм, превращенный в отрезок, причем вырожденный шстиграмм – выпуклая фигура, т. к. отрезок – выпуклая фигура.
Интересные свойства шестиграммов.
4. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон шестиграмма, проходят через центр описанного вокруг него эллипса
Заключение:
В результате своей работы мы познакомились с преобразованием Наполеона многоугольников, выяснили некоторые свойства этих многоугольников, изучили новые фигуры: Дельтоид, квадратоид, шестиграм. Полученные в нашей работе знания можно использовать при замощении исходной плоскости плиткой различной формы, создавать витражи и мозаику.
Список литературы:
1. История математики в школе, Г. И. Глейзер, Москва, 1981г.
2. Математика после уроков, М. Б. Балк, Москва, 1971г.
3. Журнал «Математика в школе» №7, Москва, 1998г.
4. Интернет ресурсы.
Слайд 1
«МБОУ Михневская средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов» Преобразование Наполеоном многоугольников Авторы: Лобанова А., Темнова Я., 9 кл. Руководитель: Курбатова С.В. 2012г.Слайд 2
Содержание: 1. Введение. 2. Преобразование Наполеона треугольников. а) Преобразование Наполеона вложенных фигур. б) Ядро линейного преобразования. 3. Преобразование Наполеона четырехугольников. 4. Преобразование Наполеона шестиугольников. 5. Заключение.
Слайд 3
Преобразование Наполеона Теорема: если на сторонах произвольного треугольника вне него построить правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник
Слайд 4
Доказательство А C K N M M1 N1 K1 B А C K N M M1 N1 K1 B
Слайд 5
Доказательство M1 M1 N1 B K1
Слайд 6
Преобразование Наполеона вложенных фигур О
Слайд 7
Теорема: Преобразование Наполеона вложенных треугольников линейно А2 А B C А1 B1 C1 C2 B2
Слайд 8
B1 A B C A1 C1
Слайд 9
Ядро линейного преобразования Ядро линейного преобразования – это множество, переходящее в нуль. Ядро преобразования Наполеона треугольников – это правильные треугольники с центром в (0;0) с обратным порядком вершин. A A B C
Слайд 10
Теорема: Ядро линейного преобразования – линейное пространство. A B C A1 B1 C1 O
Слайд 11
A B C A1 B1 C1
Слайд 12
Преобразование Наполеона четырехугольника Теорема: Преобразованием произвольного четырехугольника является квадратоид
Слайд 13
Теорема: Преобразованием параллелограмма является квадрат А C D F G H K M T B
Слайд 14
Теорема: Преобразованием ромба является квадрат
Слайд 15
Теорема: Преобразованием равнобедренной трапеции является дельтоид.
Слайд 16
Преобразование Наполеона шестиугольников Шестиграмм – это шестиугольник, у которого противолежащие стороны равны и параллельны.
Слайд 17
Построение шестиграммов
Слайд 18
Преобразование шестиграммов
Слайд 19
Вырожденные шестиграммы
Слайд 20
Свойства шестиграммов A B C D F E S BDF = S ACE = 1/2S ABCDEF P BDF = P ACE
Дерево в снегу
Сладость для сердца
Рисуем осенние листья
Ломтик арбуза. Рисуем акварелью
За еду птицы готовы собирать мусор