Учебные проекты, выполненные учащимися в рамках изучения предмета "Математика"
Вложение | Размер |
---|---|
vodyakova_e.doc | 254.5 КБ |
korikova_yu.doc | 115.5 КБ |
МОУ УЙСКО-ЧЕБАРКУЛЬСКАЯ СОШ
УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ
Автор: Водякова Е.
Руководитель: Паначева И.Е.
2006
При изучении курса математики в школе устойчивые математические навыки у учащихся вырабатываются успешнее, если ввести в учеб ный процесс специальные предписания и планы решения важнейших задач. Именно они служат основой формирования алгоритмической культуры. С другой стороны, твер дое знание планов решения основных задач курса математики — это первоначальный фундамент математической подго товки учащихся. Что можно довольно часто наблюдать на уроках математики? После вывода, например, нового правила оно повторяется 2—3 раза и, значит, запоминается отдельными учащимися до решения задач. А далее учитель требует в процессе выполнения упражнений формулировать правило по частям так, как показано в приведенных примерах, но без учебника.
Для многих слабоуспевающих учащихся это требование оказывается непосильным. Они обычно решают задачи у доски молча. А когда учитель просит объяснить выполняемые действия, учащийся прерывает решение и произносит правило все сразу, если запомнил его, от начала и до конца. Затем он опять продолжает работать молча, не применяя правила. Для усвоения некоторых наиболее трудных математических предложений целесообразно ис пользовать алгоритмический метод. Математическое предложение заменяется алгоритмом. Читая поочередно указания алгоритма, учащийся решает задачу. Таким образом, у него формируется навык применения определения, аксиомы или теоремы. В некоторых случаях ограничиваются этим навыком, в других — желательно, чтобы учащиеся запомнили еще и само математическое. Запоминание достигается, например, последующим заучиванием его.
Применяя планы решения задач в процессе обучения математике, надо ориентироваться на то, что следует не просто запом нить тот или иной план, но главное понять, на каких теоретических предложениях основано его применение, и каждый шаг учебной дея тельности, осуществляя по заданным предписаниям, выполнять соз нательно, а не автоматически.
При составлении каждого такого плана мы руководствовались следующими принципами:
1. Теоретический фундамент плана должны составлять теоретиче ские сведения, имеющие непосредственное к нему отношение.
2. Система предписаний должна быть общей по отношению к целому классу однородных задач.
3. По содержанию система предписаний должна быть полной или достаточной, т.е. обеспечивать на конкретном шаге выполнения задания однозначное получение промежуточной ин формации, которая гарантирует получение конеч ного результата.
4. Система предписаний должна быть совместной или непро тиворечивой, т. е. каждое предыдущее предписание должно являться подводящим для последующего, а последующее — логическим следствием преды дущих.
5. Число пунктов плана не должно быть большим (предельная норма 5—6). Это обеспечивает его подвижность: объединение от дельных шагов или дробление шагов на более простые.
6. Система предписаний должна обеспечивать многократное реше ние однотипных задач.
Знакомство с планами решения задач осуществляется на школьной лекции, дальнейшая их отработка выполняется на практических занятиях при различных формах работы (фронтальной, групповой, индивидуальной).
Нами разработана система специальных карточек (раздаточный дидактический материал). Каждая карточка отражает определенный' вопрос программы и предусматривает отработку соответствующего ее названию плана, который скоординирован в таблицу.
Структура карточек одна и та же. Каждая из них включает план, основные сведения из теории, иллюстрацию применения плана к решению задач, задания для самостоятельной работы. Наряду с формулировкой любого шага плана показано его практическое применение. Это обеспечивает работу по образцу на каждом этапе выработки учебного навыка.
Проводимая работа показывает, что система планов реше ния задач и указанная методика их применения позволяют в определенной мере автоматизировать учебный процесс на этапе формирова ния навыков в решении типовых задач и создают широкие возможности для активной самостоятельной работы учащихся, способствуют формированию устойчивых учебных навыков в решении; учат работать с математическим текстом.
При усвоении математических предложений работа алгоритми ческим методом подразделяется на три шага.
Первый шаг. Подготовка к работе списка указаний. Иногда учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению.
Второй шаг. Образец ответа, предлагаемый учителем. Он последовательно читает указания и одновременно решает задачу.
Третий шаг. Аналогичным образом работают учащиеся. Они читают указания и решают задачу. При этом они руководствуются как образцом ответа, так и списком указаний.
Алгоритмический метод широко применяется для формирования навыков решения определенного типа.
Отметим положительные стороны применения при обучении математике алгоритмического метода.
Если в классе пользуются только одним раздельным методом т.е простым запоминанием правил, то многие учащиеся не представляют себе, какие преобразования им следует объяснять вслух (при работе у доски).
Нередко учащиеся объясняют такие детали решения задачи, которые давно всеми усвоены. При использовании алгоритмического метода эти типичные недостатки постепенно исчезают. Учащиеся начинают объяснять только основные моменты решения задачи (они как раз и зафиксированы в теоремах, правилах и т. д.), а не второстепенные детали, касающиеся давно усвоенных вопросов.
Применение алгоритмического метода создает реальные возможности организации на уроках дифференцированного подхода к обучению. Одним учащимся достаточно одного раза для запоминания реко мендаций учителя, относящихся к решению того или иного типа задач, другим, менее внимательным и способным, одно и то же указание надо повторить много раз. Если учитель ориентируется на пер вых, то для вторых его рекомендации нередко пропадают бесполез но, поскольку не запоминаются ими и не учитываются в дальнейшем. Если же указания повторяются в классе многократно, то способным и внимательным учащимся работать становится неинтересно.
Алгоритмический метод позволяют, учитывая индивидуальные особенности учащихся, дифференциро вать работу в классе. Всем учащимся одновременно показывают, как применяются к решению задач определения, теоремы, списки указа ний и т. д. А пользуются ими одни меньше времени, другие больше — каждый по своим способностям. Уменьшается механическое списывание с доски, ибо учащиеся чувствуют себя уверенней, повышается, следовательно, степень их самостоятельности в работе.
1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
f(x0+ Δх)
Δy= Δf
f(x0)
Δ х
0 x0 x1 = x0+ Δx
На рисунке Δх=(x0 + Δх)- x0 - приращение аргумента в точке x0, Δf= f(x0+ Δ х)- f(x0) – приращение функции в точке x0.
Задание. Вычислите приращение функции f(x) в произвольной точке, если
f(х) = 2х2 + 3х -5
№ шага | План вычисления приращения функции | Применение плана |
f(х) = 2х2 + 3х -5 | ||
1 | Фиксируем произвольное значение аргумента х0 и находим значение функции f(x0) | х=х0, |
2 | Задаём аргументу приращение Δх и находим значение функции f(x0 + Δх) | х = х0+ Δх, |
3 | Находим приращение функции: |
2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Определение. Производной функции y = f(x) в заданной точке х называется предел отношения приращения функции Δy в этой точке к приращению аргумента Δx, когда Δx стремится к нулю, т. е. .
Задание. Вычислите производную функции в точке х0 = 2, если f(х) = 3х2 - 5х + 1
№ шага | План вычисления производной функции | Применение плана |
f(х) = 3х2 - 5х + 1 | ||
1 | Фиксируем точку х и даём аргументу приращение Δx | х, х + Δx |
2 | Вычисляем приращение функции: | Δf = (3(х + Δx)2 – 5(х + Δx) + 1) – (3х2 - 5х + 1) = 6х + 3(Δx)2 - 5 |
3 | Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: | |
4 | Вычисляем производную: | |
5 | Вычисляем |
3. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К гРАФИКУ ФУНКЦИИ у=f(x)
в точке (х0; у0)
Уравнение касательной к кривой у = f(х) в точке (х0; у0), принадлежащей этой кривой, имеет вид у-у0 = f/(x0)( x- x0)
Задание. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х0 = 1, если f(х) = х3 + 2х2 - 5
№ шага | План составления уравнения касательной к кривой в заданной на ней точке | Применение плана |
f(х) = х3 + 2х2 - 5 | ||
1 | Вычисляем значении функции у = f(х) в точке х=х0 | х0 =1, у0 = f(1), y0 =1+2-5 = -2 |
2 | Находим производную функции f/(x) | f/(x) = 3x2+4x |
3 | Вычисляем значение производной в точке х0, т. е. f/(x0) | f/(x0) = f/(1) = 3 + 4 =7 |
4 | Подставляем числа х0, у0, f/(x0) в уравнение касательной и записываем ответ. | y – (-2) = 7(x-1), y = 7x – 7 – 2, e =7x – 9. |
4. НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Задание. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(х) = х4 - 2х2 - 3 на промежутке [0; 2].
№ шага | План нахождения унаим и унаиб | Применение плана |
f(х) = х4 - 2х2 - 3 | ||
1 | Находим производную функции | у/= 4х3 - 4х = 4х (х2-1) |
2 | Находим критические точки функции | у/= 0, 4х (х2-1)= 0, х = -1, х = 0 и х = 1 – критические точки функции |
3 | Выбираем критические точки, лежащие внутри [a; b] | 0 и 1 |
4 | Находим значения функции в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах данного отрезка | у(1) = 1-2-3 = -4 у(0) = -3 у(2) = 16-8-3 = 5 |
5 | Из найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее | унаим = у(1) = -4, унаиб = у(2) = 5 |
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН
Задание. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объём воронки будет наибольшим?
№ шага | План решения | Применение плана |
1 | Строим рабочий чертёж | |
2 | Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти | |
3 | Вводим переменную величину х и выражаем через неё значения всех величин исходной формулы | Пусть х – величина центрального угла оставшегося сектора, тогда и , значит и . Высота воронки |
4 | Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем её как функцию аргумента х | , |
5 | Задаём (по смыслу задачи) область определения функции | |
6 | Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке | , , , , |
7 | Записываем ответ | Величина вырезаемого угла равна |
6. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА
Задание. Исследуйте и постройте график функции f(х) = 3х4 - 4х3 + 1
№ шага | План исследования функции | Применение плана |
f(х) = 3х4 - 4х3 + 1 | ||
1 | Находим область определения функции | D(f)=R |
2 | Исследуем функцию на чётность, нечётность | f(-х) = 3х4 + 4х3 + 1≠ f(х) – функция ни чётная, ни нечётная |
3 | Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства | 3х4 - 4х3 + 1 = 0, (х-1)2 (3х2+2х+1)=0, |
4 | Находим производную функции и её критические точки | y/=(3х4 - 4х3 + 1)/=12х3-12х2=12х2(x-1), |
5 | Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции | y/(-1)<0, y/(0,5)<0, y/(2)>0, |
6 | Находим предел функции при | |
7 | Строим эскиз графика функции |
7. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [a; b] знака функции f(x), прямыми x = a, x = b и отрезком [a; b]. Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле . (1)
Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
№ шага | План вычисления площади криволинейной трапеции | Применение плана |
, , . | ||
1 | Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией. | |
2 | Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры | |
3 | Находим пределы интегрирования | |
4 | Вычисляем искомую площадь по формуле (1) |
8. НАХОЖДЕНИЕ критических точек функции.
№ шага | План нахождения критических точек функции | Применение плана |
у = х3 - 3х | ||
1 | Указать область определения функции | Д(у) = R |
2 | Найти у/ | у/ = 3х2 - 3 |
3 | Указать область определения производной. | Д(у/)= R |
4 | Решить уравнение у/ = 0 | у/ =0, 3х2 – 3 = 0 х2 – 1 = 0 х2 = 1 х1 = 1, х2 = -1 |
5 | Ответ | х = 1, х = -1 - критические точки функции |
9. НАХОЖДЕНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ
И ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА.
№ шага | План нахождения промежутков монотонности и точек экстремума | Применение плана |
1 | Найти критические точки (алгоритм № 8, п. 1-4) и нанести их на числовую ось, выделив точки разрыва функции. | Д(у) = (-∞;1)U (1;+∞) х=1 – точка разрыва у/= |
2 | Определить знак производной на каждом из полученных промежутков | Д(у/) = (-∞;1)U (1;+∞) у/ =0 х2-2х-3=0 х1=3; х2=-1 |
3 | Определить по знаку производной характер монотонности функции на каждом из промежутков. | ++ + |
4 | Выявить наличие экстремума в каждой критической точке, отличной от точек разрыва функции, опираясь на определение. | |
5 | Ответ: | у на (-∞;-1];[3;+∞) у на [-1;1) max у при х = -1 min у при х =3 |
ЛИТЕРАТУРА
МОУ УЙСКО-ЧЕБАРКУЛЬСКАЯ СОШ
УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ
Автор: Корикова Ю.
Руководитель: Паначева И.Е.
2006
2
1
4
6
3
5
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
8
1
а≠0
неприведённые
а≠1
с=0, в=0, х=0
а, в, с – числа
х– переменная
приведённые
а=1
с=0, х1=0, х2=-в/а
полные
в≠0, с≠0
ах2+вх+с=0
в=0, х=- с/а
неполные
в=0
или с=0
Св-ва коэффициентов
а+в+с=0, а+(-в)+с=0;
«Метод переброски»
7
Нет корней
1 корень
2 корня
Разложением
на множители
Д=в2-4ас; Д=(в/2)2-ас
Д<0
Д=0
Д>0
в – чётное
По формулам,
используя Д и Д/4
Теорема Виета
в - нечётное
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
Определение: (а≠0; а, в, с – числа; х – переменная;ах2+вх+с=0)Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bx+с=0, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причём а≠0.
Числа а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом и с – свободным членом.
Квадратное уравнение называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
2
Виды уравнений: (Неприведённые - а≠1; Приведённые – а=1; Полные - в≠0, с≠0; Неполные в=0 или с=0)
Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадратными уравнениями, иначе неприведённым квадратным уравнением
Если в квадратном уравнении ах2+bx+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2+с=0, где с≠0;
2) ах2+bx=0, где b≠0;
3) ах2=0.
3
Множество корней: Нет корней; 1 корень; 2 корня
Дискриминант: Д=0; Д>0; Д=в2-4ас; Д=(в/2)2-ас
4
5
Формулы корней:
в – чётное → в – нечётное →
6
Способы решения: Разложением на множители; По формулам, используя Д и Д/4; Теорема Виета
Теорема Виета. Для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:
|
Теорема Виета: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Теорема обратная теореме Виета: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рx+q=0
7
Рациональные способы решения: Свойства коэффициентов →а+в+с=0, а+(-в)+с=0; Метод переброски
8
Корни неполных квадратных уравнений: с=0, в=0, х=0; с=0, х1=0, х2=-в/а; в=0, х=-с/аДля решения неполного квадратного уравнения вида ах2+с=0, где с≠0;
Уравнение
ax2 + bx + c = 0, |
где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.
Выделив полный квадрат, получим уравнение Если то отсюда следует, что
или
Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).
1 |
При D > 0 существуют два корня x1 и x2. При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: x1 = x2. Наконец, при D < 0 равенство невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.
Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители: Таким образом
|
где Если D = 0, то Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители.
Большое - маленькое
В Китае испытали "автобус будущего"
Именинный пирог
Басня "Две подруги"
Рисуем лошадь акварелью