Математические модели в теории и в жизни

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

 Елабужского муниципального района

Математические модели

 в теории и в жизни

                                                                                                             Выполнила:

                                                                                                             ученица 8 класса

                                                                                                             Калимуллина Алия

                                                                                                             Руководитель:

                                                                                                             Г.Х.Камаева

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………….........3

I. Обзор научной литературы на тему: «Математическое моделирование»…............4

II. Экспериментальное исследование с использованием приемов математического моделирования………………………………………………………………………..….8

Заключение……………………………………………………………………….……..13

Список литературы……………………………………………………………………..14

Введение

          При изучении школьного курса математики учащиеся то и дело сталкиваются с математическими моделями и математическим моделированием. А начинается это с первого класса, когда от лицезрения счетных палочек дети переходят к изучению натуральных чисел и действий с ними, к изучению понятий «столбчатые диаграммы».

          Решая математические задачи из учебника, они строят математическую модель.

Алгебра в основном занимается тем, что описывает реальные различные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

          В данной работе были поставлены следующие задачи:

- изучить научно-популярную литературу по данному вопросу;

- используя приемы математического моделирования рассчитать необходимое количество касс в супермаркете «Магнит».

I. Обзор научной литературы на тему: «Математическое моделирование»

 Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области знаний:

- техническое конструирование,

- строительство,

- архитектуру,

- астрономию,

- физику,

- химию,

- биологию,

- общественные науки.

   Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

  Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Модель (в науке) — это объект-заместитель объекта-оригинала, инструмент для познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает некоторые свойства оригинала.

 Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Процесс моделирования включает три элемента:

1. Cубъект (исследователь);
2. Объект исследования;
3. Модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Главная особенность моделирования в том, что этот метод опосредованного познания с помощью объектов – заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом, и с помощью которого изучает интересующий его объект.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты непосредственно исследовать или невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо суметь описать их на языке математики, т.е. построить математическую модель процесса, явления. Математические модели и являются объектами непосредственного математического исследования.

Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.

Математическая модель - это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. "Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближённым отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта". Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: “Модель - это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет". В настоящее время построение, исследование и приложение математических моделей является, можно сказать, основным предметом деятельности математиков.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В – модель объекта А.

Модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом, так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала. Изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько специализированных моделей.

 Можно выделить несколько основных этапов процессов моделирования.

Первый этап - постановка проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь – четко сформулировать сущность проблемы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, изучение структуры объекта, объясняющих поведение и развитие объекта.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели. Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал – формирование множества знаний об объекте. Мы можем переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат связан с признаками сходства оригинала и модели.

Следующий этап – численное решение. Этот этап включает разработку численного решения задачи, составление программ и непосредственное проведение расчетов.

Последний этап – анализ численных результатов и применение. На этом заключительном этапе встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

II. Экспериментальное исследование с использованием приёмов математического моделирования.

 Используя метод математического моделирования, рассчитаем количество касс в супермаркете «Магнит».

 Для этого переводим условие задачи на математический язык и строим математическую модель.

Дано: К – необходимое число касс;

          В – время обслуживания кассиром одного покупателя;

          Т – время работы супермаркета;

          N – количество покупателей, побывавших в супермаркете за день.

Рассчитываем количество покупателей, которых может обслужить один кассир в течение рабочего дня. Для этого нужно найти отношение времени работы супермаркета ко времени обслуживания кассиром одного покупателя, т.е. Т/В. Следовательно, число касс должно быть таким, чтобы они смогли обслужить всех покупателей, побывавших в супермаркете за день.

Итак, математическая модель этой задачи : К = N: Т/В.

Затем собираем данные, необходимые для решения поставленной задачи, т,е узнаем время обслуживания одного покупателя кассиром, считаем число покупателей, посетивших супермаркет за день. В итоге мы получили такие сведения:

В = 3 минуты

Т = 780 минут (13 часов)

N= 2000 человек.

Делаем необходимые вычисления:

К = 2000:780/3=7,69

Таким образом, следует сделать вывод – в супермаркете должно работать не менее 8 касс, чтобы не создавались очереди.

Задача решена. Однако при подсчете общего числа покупателей нужно обратить внимание на то, что посетители приходили в супермаркет неравномерно. Днем их было мало, а вечером произошел наплыв покупателей. Поэтому днем и один кассир может оказаться без работы , а вечером и у восьми касс будут длинные очереди.

Из этого можно сделать вывод, что построенная математическая модель очень упрощена и не отвечает практическим требованиям. Чтобы сделать ее максимально эффективной надо считать не общее количество покупателей за рабочий день, а рассчитывать необходимое число касс в каждый час работы магазина.

Строим новую математическую модель.

Дано: Кi – число касс, необходимое в определенный час работы супермаркета

           Ni – число покупателей в определенный час работы супермаркета.

Так как мы рассчитываем число касс, работающих один  час, то Т=60 минутам.

Итак, получаем новую математическую модель:

Ki=Ni : 60/В

На основании новой модели следует заметить, что необходимое количество касс должно быть равно самому большому числу Ki из тринадцати.

В таблице в каждом столбце второй строки приведено число покупателей на данный час работы супермаркета.

                  Построим диаграмму зависимости количества покупателей от времени.

Глядя на диаграмму, можно определить, что наибольшее число покупателей приходится на 11 –й час работы супермаркета.

          Делаем вычисления:

          К11 = 310 : 60/3 = 15,5

        Итак, чтобы в будние дни в супермаркете не возникали очереди, касс должно быть не менее шестнадцати.

        Теперь рассчитаем количество касс, необходимое для обслуживания покупателей в выходные дни, так как число покупателей увеличивается до 4000 человек.

        Берем уже готовую математическую модель: Кi = Ni:Т/В и составляем новую таблицу и строим диаграмму.

Можно определить, что наибольшее число покупателей приходится на седьмой час работы.

Делаем вычисления:

К7 = 470:60/3=19

Чтобы в супермаркете в выходные дни не возникали очереди, должны работать не менее 19 касс.

Исходя из того, что в праздничные дни количество посетителей возрастает до 6000, рассчитываем  необходимое количество касс в эти дни, используя ту же математическую модель.

Чертим таблицу и строим диаграмму на каждый час работы супермаркета «Магнит» в праздничные дни.

       Видно, что наибольшее число покупателей было в супермаркете в шестой час работы.

Производим вычисления:

К6 = 650:60/3=32,5

Чтобы в праздничные дни в супермаркете не было очередей, необходимо 33 кассы.

Заключение

             Итак, мы построили математическую модель. Сначала описали реальную ситуацию словами  (словесная модель), сделали математические расчеты (алгебраическая модель) и графически изобразили ее (диаграммы).

   Конечно, мы не вникали в экономическую выгоду такого подхода к решению проблемы, но, думаем,  что устанавливать 33 кассы не выгодно администрации супермаркета «Магнит». В то же время, хотелось бы, чтобы в супермаркете «Магнит» функционировало не менее 12 касс.

Список  литературы

1. А.И.Верченко. Математика в школе. Издательство «Школа – Пресс», Москва, 2004 год.
2. А.Г.Мордкович. Алгебра 7 класс.Издательство «Мнемозина», 2002 год.
3. Т.Л.Рыбакова, И.В.Суслова. Математика. Издательство Ярославль «Академия развития»,1997 год.
4. С.П.Алексеев. Что такое, кто такой. Издательство «Педагогика пресс», Москва, 1994 год.