Представлена исследовательская работа ученика 9а класса по информатике.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 467 КБ |
МОУ «Кезская средняя общеобразовательная школа №1»
Моделирование графиков функций двух
переменных
Исследовательская работа
Автор: учащийся 9а класса,
Никитин Кирилл Валентинович
Руководитель работы: учитель информатики,
Ветошкина Наталья Владимировна
п. Кез, 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. Содержание…………………………………………………………………..…2
2. Введение………………………………………………………………………...3
3. История……………………………………………………………………….4-5
4. Основные этапы работы
4.1. Теоретическая часть………………………………………………...…6
4.2. Практическая часть……………………………………………...…7-12
5. Заключение…………………………………………………………………….13
6. Приложение………………………………………………………………..14-16
7. Литература…………………………………………………………………….17
Введение
На одном из уроков алгебры мы изучали графики функций, и учитель сказал, что существуют графики функций двух переменных и их графики строятся в трехмерной системе координат. Меня заинтересовал этот факт, и я решил смоделировать графики функций двух переменных с помощью компьютера в среде Q basic и в среде электронных таблиц Excel.
Гипотеза
Многие считают графики функций не интересной теорией, основанной на сухих фактах, не представляя, какими красочными и завораживающими они могут оказаться.
Цель
Изучить теоретический материал о способах моделирования графиков функций двух переменных с помощью компьютера и составить алгоритмы их построения в разных программах.
Задачи
1) расширить понятия функции двух переменных;
2) построить с помощью компьютерных программ графики функций двух переменных;
3) рассмотреть известные графики функций двух переменных;
4) смоделировать в среде Q Basic и в электронных таблицах Excel графики функций двух переменных;
5) рассмотреть связь природы с графиками функций двух переменных.
История
Функция двух переменных:
Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).
История Q Basic:
QBASIC — диалект языка программирования Бейсик (BASIC), разработанный компанией Microsoft, а также среда разработки, позволяющая писать, запускать и отлаживать программы на этом языке.
Создателями языка программирования Q Basiс были John George Kemeny и Тоm Kurtz, работавшие в Дортмундском колледже в 1964 году. Свой язык они назвали по первым буквам слов «Beginner's All-purpose Symbolic Instruction Code». Кроме того, имелась в виду ассоциация со словом «базовый». Новый язык быстро завоевал популярность благодаря своей простоте в изучении, особенно среди начинающих. Собственно, как и Pascal, Basic был предназначен для обучения студентов.
Джон Джордж Ке́мени (англ. John George Kemeny, венг. Kemény János György, 31 мая 1926, Будапешт — 26 декабря 1992, Нью-Гэмпшир,США) — американский математик и специалист по информатике. Вместе с Томасом Курцем разработал язык Бейсик (1964).[1] В 1970 году был избран 13-м президентом Дартмутского колледжа (одного из старейших и авторитетнейших университетов США) и занимал эту должность 11 лет. В этом колледже он впервые начал систематическое применение компьютеров в учебном процессе.
Джон Кемани Томас Курц
Томас Курц (Thomas Eugene Kurtz) — математик, профессор Дартмутского колледжа (США). Вместе с Джоном Кемени разработал язык программирования BASIC и сетевую систему пользования несколькими компьютерами одновременно («time sharing»). Получил научную степень в Принстонском университете в 1956 году и сразу был приглашен на Математический факультет в Дартмутский колледж.
История Excel:
Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) - программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X. Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире. Первая версия Excel предназначалась для Mac и была выпущена в 1985 году, а первая версия для Windows была выпущена в ноябре 1987 года.
Теоретическая часть
Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D, соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных x и y , определенная в области D (область определения функции).
С помощью графика функций двух переменных мы имеем возможность наглядно представить значения и связь трех величин в любых сферах деятельности. Также можно выявить между собой связь этих трех величин. Примеров множество: от обыкновенного прогноза погоды до математического моделирование плазмы в термоядерном ядре.
В смоделированной программе графика двух переменных в среде Q Basic используются следующие алгоритмические структуры:
1) линейная;
2) циклическая;
3) разветвляющаяся.
Вариантом циклической структуры является цикл – ДЛЯ
FOR i=i1 TO i2 STEP i3
<Тело цикла>
NEXT i
i – переменная, счетчик
i1 – первое значение которое принимает переменная i
i2 – последнее значение либо близкое к нему, не превосходящее i2
i3 – длина шага
Вариантом структуры ветвления является ветвление – ЕСЛИ
IF условие 1 OR условие 2 THEN действие 1 ELSE действие 2
Практическая часть
Часть 1: Составление графика Гиперболический параболоид в электронных таблицах Excel
И вот мы получили довольно интересный рисунок, который является графиком функции двух переменных. По этому аналогу можно строить графики любых функций двух переменных (примеры в приложении). Это занимает не много времени, но выглядит очень красочно и наглядно.
Часть 2: Составление Графика функции двух переменных в среде программирования QBasic
Программа №1 «Обезьянье седло»
sx = 180
sy = 180
ratio = .6
hx = sx / 2
hy = sy / 2
s = SQR(2) / 2
aa = hx * s
SCREEN 7
FOR a = -aa TO aa + 5 * s
max = -hy
bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))
FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s
x = s * (a + b)
y = s * (b - a)
z = b
r = SQR(x * x + y * y)
z = x * y * (x - y) * (x + y) / (1000 * r) + b
IF z < max THEN GOTO 760
max = z
u = hx + a
v = hy + z * s / ratio
IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760
PSET (u, v)
760 NEXT b
NEXT a
END
Программа №2
sx = 176
sy = 160
ratio = .6
hx = sx / 2
hy = sy / 2
s = SQR(2) / 2
aa = hx * s
SCREEN 7
FOR a = -aa TO aa + 5 * s
max = -hy
bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))
FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s
x = s * (a + b)
y = s * (b - a)
z = b
r = SQR(x * x + y * y)
z = 10 * COS(r / 5) + b
IF z < max THEN GOTO 760
max = z
u = hx + a
v = hy + z * s / ratio
IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760
PSET (u, v)
760 NEXT b
NEXT a
END
Программа №3
sx = 180
sy = 180
ratio = .6
hx = sx / 2
hy = sy / 2
s = SQR(2) / 2
aa = hx * s
SCREEN 7
FOR a = -aa TO aa + 5 * s
max = -hy
bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))
FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s
x = s * (a + b)
y = s * (b - a)
z = b
r = SQR(x * x + y * y)
z = 75 * EXP(-r * r / 600) + b
IF z < max THEN GOTO 760
max = z
u = hx + a
v = hy + z * s / ratio
IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760
PSET (u, v)
760 NEXT b
NEXT a
END
Заключение
В качестве заключения был проведен опрос, в котором выяснилось, что 100% опрошенных считают, что график функции двух переменных смоделированный в среде электронных таблиц Excel выглядит понятнее и нагляднее.
Таким образом, опытным путем мы выяснили, что моделирование графиков функций двух переменных в среде электронных таблиц Excel нагляднее и проще для восприятия, чем эти же графики, но смоделированные в среде программирования Q basic.
Если учитывать по времени выполнения графиков в этих двух средах то можно уверенно сказать, что моделирование в среде электронных таблиц в 10 разы быстрее и, что немаловажно, легче.
В дальнейших исследованиях возможно построение этих графиков в других средах, или же можно построить другие графики более сложные по структуре. А также изучить вопрос о том, какие процессы описываются функциями двух переменных. Как применяются графики функций двух переменных.
Приложение
График функции Полусфера
График функции Конус
График функции Эллиптический цилиндр от 0 до 2
График функции Гиперболический цилиндр от -1 до 1
График функции Эллиптический параболоид
График функции
Литература
Какая бывает зима
Нарисуем попугая цветными карандашами
Что такое музыка?
Военная хитрость
Лиса и волк