Моделирование графиков функций двух переменных.

Опубликовано Ветошкина Наталья Владимировна вкл 25.05.2012 - 12:10
Ветошкина Наталья Владимировна
Автор: 
Никитин Кирилл

Представлена исследовательская работа ученика 9а класса по  информатике.

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon issledovatelskaya_rabota_nikitin.doc467 КБ

Предварительный просмотр:

МОУ   «Кезская средняя общеобразовательная школа №1»

Моделирование графиков функций двух

переменных

Исследовательская работа

Автор: учащийся 9а класса,

Никитин Кирилл Валентинович

Руководитель работы: учитель информатики,

Ветошкина Наталья Владимировна

п. Кез, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1. Содержание…………………………………………………………………..…2

2. Введение………………………………………………………………………...3

3. История……………………………………………………………………….4-5

4. Основные этапы работы

        4.1. Теоретическая часть………………………………………………...…6

        4.2. Практическая часть……………………………………………...…7-12

5. Заключение…………………………………………………………………….13

6. Приложение………………………………………………………………..14-16

7. Литература…………………………………………………………………….17

Введение

        На одном из уроков алгебры мы изучали графики функций, и учитель сказал, что существуют графики  функций  двух переменных и их графики строятся в трехмерной системе координат. Меня заинтересовал этот факт, и   я  решил смоделировать  графики  функций  двух  переменных  с  помощью   компьютера  в  среде  Q basic  и  в  среде  электронных  таблиц Excel.

Гипотеза

        Многие считают графики функций не интересной теорией, основанной на сухих фактах, не представляя,  какими красочными и завораживающими они могут оказаться.

Цель

Изучить  теоретический  материал  о  способах моделирования графиков функций двух переменных с помощью компьютера  и  составить  алгоритмы  их  построения  в  разных  программах.

Задачи

1) расширить понятия функции двух переменных;

2) построить с помощью компьютерных программ графики функций двух переменных;

3) рассмотреть известные графики функций двух переменных;

4) смоделировать в среде Q Basic и в электронных таблицах Excel графики функций двух переменных;

5) рассмотреть связь природы с графиками функций двух переменных.

История

        Функция двух переменных:

Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

        История Q Basic:

QBASIC — диалект языка программирования Бейсик (BASIC), разработанный компанией Microsoft, а также среда разработки, позволяющая писать, запускать и отлаживать программы на этом языке.

Создателями языка программирования Q Basiс были John George Kemeny и Тоm Kurtz, работавшие в Дортмундском колледже в 1964 году. Свой язык они назвали по первым буквам слов «Beginner's All-purpose Symbolic Instruction Code». Кроме того, имелась в виду ассоциация со словом «базовый». Новый язык быстро завоевал популярность благодаря своей простоте в изучении, особенно среди начинающих. Собственно, как и Pascal, Basic был предназначен для обучения студентов.

Джон Джордж Ке́мени (англ. John George Kemeny, венг. Kemény János György, 31 мая 1926, Будапешт — 26 декабря 1992, Нью-Гэмпшир,США) — американский математик и специалист по информатике. Вместе с Томасом Курцем разработал язык Бейсик (1964).[1] В 1970 году был избран 13-м президентом Дартмутского колледжа (одного из старейших и авторитетнейших университетов США) и занимал эту должность 11 лет. В этом колледже он впервые начал систематическое применение компьютеров в учебном процессе.

                                                         

    Джон Кемани                                                                    Томас Курц

Томас Курц (Thomas Eugene Kurtz) — математик, профессор Дартмутского колледжа (США). Вместе с Джоном Кемени разработал язык программирования BASIC и сетевую систему пользования несколькими компьютерами одновременно («time sharing»). Получил научную степень в Принстонском университете в 1956 году и сразу был приглашен на Математический факультет в Дартмутский колледж.

История Excel:

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) - программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X. Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире. Первая версия Excel предназначалась для Mac и была выпущена в 1985 году, а первая версия для Windows была выпущена в ноябре 1987 года.

Теоретическая часть

Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D,  соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных  x и y , определенная  в области D (область определения функции).

С помощью графика функций двух переменных мы имеем возможность наглядно представить значения и связь трех величин в любых сферах деятельности. Также можно выявить между собой связь этих трех величин. Примеров множество: от обыкновенного  прогноза погоды до математического моделирование плазмы в термоядерном ядре.

В смоделированной программе графика двух переменных в среде Q Basic используются следующие алгоритмические структуры:

1) линейная;

2) циклическая;

3) разветвляющаяся.

Вариантом циклической структуры является цикл – ДЛЯ

FOR i=i1 TO i2 STEP i3

<Тело цикла>

NEXT i

i – переменная, счетчик

i1 – первое значение которое принимает переменная i

i2 – последнее значение либо близкое к нему, не превосходящее i2

i3 – длина шага

Вариантом структуры ветвления является ветвление – ЕСЛИ

IF условие 1 OR условие 2 THEN действие 1 ELSE действие 2

Практическая часть        

Часть 1: Составление графика Гиперболический параболоид в электронных таблицах Excel    

  1. Зададим значение переменной y от -3 до 3 с шагом 0,5

  1. Зададим значение переменной x от -3 до 3 с шагом 0,5

  1. Введем в ячейку B2 адаптированную к электронным таблицам формулу гиперболического параболоида =B$1^2-$A2^2 и скопируем её в ячейки до ячейки N14

  1. Выделим область ячеек от B2 до N14.

  1.  Воспроизведем следующий порядок команд: Вставка- Диаграмма,  выбираем тип- Поверхность, Готово

  1. Удалим с графика лишнее, переместим на свободную поверхность

        И вот мы получили довольно интересный рисунок, который является графиком функции двух переменных. По этому аналогу можно строить графики любых функций двух переменных (примеры в приложении). Это занимает не много времени, но выглядит очень красочно и наглядно.

Часть 2: Составление Графика функции двух переменных в среде программирования QBasic

        Программа №1 «Обезьянье седло»

sx = 180

sy = 180

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = x * y * (x - y) * (x + y) / (1000 * r) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Программа №2

sx = 176

sy = 160

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = 10 * COS(r / 5) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Программа №3

sx = 180

sy = 180

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = 75 * EXP(-r * r / 600) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Заключение

        В качестве заключения был проведен опрос, в котором выяснилось, что 100% опрошенных считают, что график функции двух переменных смоделированный в среде электронных таблиц Excel выглядит понятнее и нагляднее.

Таким образом, опытным путем мы выяснили, что моделирование графиков функций  двух переменных в среде электронных таблиц Excel нагляднее и проще для восприятия, чем эти же графики, но смоделированные в среде программирования Q basic.

        Если учитывать по времени выполнения графиков в этих двух средах то можно уверенно сказать, что моделирование в среде электронных таблиц  в 10 разы быстрее и, что немаловажно, легче.

        В дальнейших исследованиях возможно построение этих графиков в других средах, или же можно построить  другие графики более сложные по структуре. А также изучить вопрос о том, какие процессы описываются функциями двух переменных. Как применяются графики функций двух переменных.

Приложение

        График функции Полусфера  

График функции Конус

График функции Эллиптический цилиндр  от 0 до 2

График функции Гиперболический цилиндр от -1 до 1

        График функции Эллиптический параболоид

График функции  

Литература

  1. Журнал «Информатика», №1, 1-15 января 2007 года, издательский дом «Первое сентября»
  2. «Занимательная математика и компьютер», Ч. Конёвски, издательство «Мир», 1987 год.
  3. «Основы Информатики и вычислительной техники», А.П. Ершова и В.М. Монахова, издательство «Просвещение», 1985 год.
  4. «Методические рекомендации по изучению языка программирования MSX- Бейсик», Глазов, 1988 год.
  5. http://ru.wikipedia.org


У меня в портфеле

Разноцветное дерево

Пятёрки

Марши для детей в классической музыке

Загадка Бабы-Яги