Н.И.Лобачевский и его геометрия

МКОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 города Суздаля»
Работу выполнилаученица 9 классаМатюнина ДарьяУчитель: Плотникова Т.В.
2012 год
Учащимся было предложено ответить на 4 вопроса: Что вы знаете о геометрии Лобачевского?Что вы знаете о геометрии Евклида?Сформулируйте аксиому параллельных прямых.Чью геометрию мы изучаем в школе?
Вопросы проведённой анкеты:
Проблемный вопрос:Почему возникла «новая» геометрия?
Гипотеза:Геометрия Лобачевского справедлива и является более широкой, нежели геометрия Евклида, которая является частным(или особым) случаем первой.
Цель:Систематизировать и обобщить знания о евклидовой и неевклидовой геометрии. Изучить доказательства справедливости существования и непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Задачи:Проанализировать научную и исследовательскую литературу по данной теме.Изучить биографию Н.И. Лобачевского.Сделать сравнительный анализ двух геометрий.Доказать некоторые свойства геометрии Лобачевского.Изучить практическую значимость «воображаемой» геометрии Лобачевского.Организовать и проанализировать результаты исследовательской деятельности. Сделать выводы.
Методы исследования:Теоретическая часть: изучение, анализ и синтез научной и исследовательской литературы.
Практическая часть: анализ путём сравнения и выделения критериев евклидовой и неевклидовой геометрий, моделирование плоскости Лобачевского.
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.
через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
ВЫВОД: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой.
Евклидова аксиома о параллельных:
Аксиома Лобачевского о параллельных:
вертикальные углы равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны;
из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр
сохраняются признаки равенства треугольников
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Модель – плоскость.
Модель – псевдосфера.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Параллельными называются две прямые, расположенные в одной плоскости и не пересекающиеся.
Прямые, лежащие в веере на границе между множеством пересекающихся и множеством не пересекающихся прямых(первые прямые, не встречающиеся с исходной) называются параллельными ей.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Сумма углов треугольника равна 180°.
Сумма углов треугольника меньше 180°
Два случая взаимного расположения прямых на плоскости: пересекаются и параллельны.
Три случая взаимного расположения прямых: пересекаются, параллельны и расходящиеся.
Три признака равенства треугольников.
Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам треугольника, то такие треугольники равны. – четвёртый признак равенства треугольников.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.
Угол между перпендикуляром и параллелью равен 90°.
Угол между перпендикуляром и каждой из двух параллелей к прямой всегда будет меньше 90°.
В равностороннем треугольнике все углы по 60°.
В равностороннем треугольнике углы могут быть не равны между собой.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Около любого треугольника можно описать окружность и в любой треугольник можно вписать окружность.
Существуют треугольники, вокруг которых нельзя описать окружность и в которые нельзя вписать окружность.
Существуют подобные фигуры.
Не существует подобных фигур.
Две линии постоянной кривизны: прямая и окружность.
Кроме прямой и окружности линиями постоянной кривизны является эквидистанта.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Площадь треугольника зависит от величины сторон.
Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину.
Но главное различие одной геометрии от другой кроется в понимании самой природы пространства.
Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1098007758.html http://im8-tub.yandex.net/i?id=128275716&tov=8 http://ru.wikipedia.org http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/6/64/VoobrGeom.jpg http://www.gallart.ru/images/expozition/image_634.jpg http://www.geometrie.ru/site/lobachevskiy/t13.htm http://gov.cap.ru/hierarhy_cap.asp?page