Так ли просты простые числа

Городская конференция младших школьников

 «Открытие»

Секция  математика

Так ли просты простые числа

                                                            Автор:  Торгунакова Яна Борисовна,

                                                                                         ученица 6 «В» класса

                                                                                        МОУ «Средняя школа №8»

               Руководитель: 

                                                                                       Куркович Лариса Федоровна,

                                                                                       учитель математики

                                                                                       МОУ «Средняя школа №8»

                                                                                       вторая  квалификационная

                                                                                       категория

г. Когалым, 2011г.

Содержание:

1. Введение                                                                                                  стр. 3
2. Основное содержание - исследование простых чисел                        стр. 4-8

1. Микроисследование №1                                                           стр. 4
2. Микроисследование №2                                                           стр. 4-5
3. Микроисследование №3                                                           стр. 5-6
4. Микроисследование №4                                                           стр. 5-6
5. Микроисследование №5                                                           стр. 6
6. Микроисследование №6                                                           стр. 6-7
7. Микроисследование №7                                                           стр. 7-8

3. Заключение                                                                                          стр. 8
4. Список источников информации                                                       стр. 8
5. Приложения                                                                                         стр. 9-18

1. Введение

   В 6 классе на уроках математики  мы познакомились с темой «Простые числа». И меня заинтересовали эти числа. Особенно их название. Вначале я  узнала о значении слова «простой».

      Слово  «простой» в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова определяется как  «однородный по составу, не составной; не сложный, не трудный, легко доступный пониманию, осуществлению».

В энциклопедии  «Викисловарь»: «Значения слова «простой» -

  доступный и не требующий много времени и усилий для понимания, решения, выполнения, описания, использования;

  ничем не выделяющийся среди прочих, обыкновенный, типичный, стандартный;

 недорогой, без дополнительных функций, опций, аксессуаров, дополнительных этапов при производстве, ингредиентов и специй».

Немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие «простые числа». Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда скажет: 2,3,5,7,11,13,17,… Так неужели эти числа так просты, понятны и доступны?   Соответствуют ли они своему названию?  Отсюда возникает проблема исследования: можно ли установить соответствие между значениями  слова «простой» и математическим названием простого числа.

Исходя из вышеизложенного, я выдвинула  для работы следующие цели и задачи.

 Цель исследования: установить соответствие между математическим понятием простого  числа и значением слова «простой».

Объект исследования: множество натуральных чисел.

Предмет  исследования:  простые числа.

Задачи исследования:

1. Изучить исторические сведения  о простых числах.
2. Исследовать  «решето Эратосфена».
3. Исследовать множество простых чисел до 1000.

Гипотеза: если нельзя найти формулу простого числа, то эти числа нельзя назвать  простыми.

Предлагаемая работа является результатом исследования множества простых чисел, проведенного по таблице простых чисел и по литературным источникам.

Основными методами являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

1. Основное содержание - исследование простых чисел.

Микроисследование №1.  

Цель: ответить на вопрос: « Нахождение простых чисел по «решету Эратосфена»  всегда

 легкодоступно  пониманию, осуществлению?»

Первый, кто занимался  задачей  «выписать из множества натуральных чисел  простые», был великий математик древности  Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Он  придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

В этот способ можно внести и такой  прием (диагональный), который я использовала при нахождении простых чисел от 1 до 100. (См. приложение 1)

 Способ нахождения простых чисел  назван «решето Эратосфена», так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывались  иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето.

Вывод: используя «решето Эратосфена» мы можем найти все простые числа. И этот способ, действительно, легко доступен к пониманию и осуществлению.  Но нахождение простых чисел среди  многозначных натуральных чисел уже проблематично и затруднительно, требует много времени и усилий, поэтому используют вычислительные машины. Значит, первому значению слова «простой» простые числа не соответствуют.

Микроисследование №2.  

Цель:  -  ответить на вопрос: « Однородны ли по составу простые числа?»;

- произвести подсчет простых чисел и чисел-близнецов в таблице простых чисел до  

  1000. 

Благодаря  «решету Эратосфена» была составлена таблица простых чисел. На форзаце учебника «Математика 6 класс» Виленкина Н. Я. помещена таблица простых чисел до 997, с которой  мы работали на уроках. (См. приложение 2)  Но  почему в таблице числа записаны разными цветами? Значит, числа неоднородны?  Чтобы ответить на эти вопросы, я рассмотрела выделенные красным цветом числа.   Заметила, что разница между ними равна двум. Оказывается, такие простые числа называют  близнецами.

    По таблице простых чисел  я  подсчитала, сколько простых чисел, сколько чисел – близнецов в каждой сотне чисел (до 1000).  Результат приведен в приложении 3 и в данной таблице.

Близнецы собираются и  в скопления.  В таблице простых чисел  нашла  "тройню" - это числа

3, 5, 7.   Скопления  «четверок»   - это 5, 7, 11, 13 ;  11, 13, 17, 19;  101,103,107,109;  137,139,149,151;   419, 421, 431,433.   Есть и «шестерки»:  179,181, 191 193, 197, 199  и  809, 811, 821, 823,827,829.

Вывод: простые числа по составу не однородны (выделяются числа-близнецы); количество пар близнецов до 500 (24 пары) больше, чем количество пар от 500 до 1000 (11пар), значит, количество чисел – близнецов уменьшается,   распределены простые числа и числа-близнецы   неравномерно; количество скоплений близнецов  не определено.

Значит,  второму значению слова «простой»  эти числа не совсем соответствуют.

Микроисследование №3.  

Цель: найти формулу для нахождения чисел–близнецов.

 Анализируя простые числа по таблице простых чисел, заметила, что они либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6.  По - моему, они имеют вид  6n . Я  исследовала  эту формулу до  n = 50. (См. приложение 4) 

Вывод: числа-близнецы, найденные по формуле, совпали с числами-близнецами, найденными по таблице простых чисел. Выпала только пара (3; 5). Считаю, что, исключая пару (3; 5), можно по этой формуле находить числа близнецы. Можно  также находить и простые числа, но результат вычислений необходимо  проверять (а это сложно сделать, если проверять многозначные числа).  В приложении 4  простые числа  выделила красным цветом.

Считать эту формулу «стандартной» не можем, значит, и значению слова «простой»  простые  числа не совсем соответствуют.

Микроисследование № 4.  

Цель: найти количество простых чисел и определить процент появления их.

Как часто встречаются простые числа среди натуральных?  Я подсчитала в процентах появление простых чисел (в пределах 1000). (См. приложение 5)

Результат исследования  приведен в таблице:

Вывод исследования: процент появления простых чисел с увеличением натуральных чисел уменьшается, а само количество простых чисел увеличивается.  Они не собраны вместе, а разбросаны среди натуральных чисел неравномерно. Поэтому их поиск  затруднителен.

Значит, значению слова «простой» простые числа не соответствуют.

 Микроисследование  № 5.  

Цель: ответить на вопрос: «Существует ли самое большое простое число?».

В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым. Существует ли самое большое простое число? Ответ на этот вопрос нашла в справочной литературе.

(См. приложение 6)

Вывод: самого большого простого числа не существует. Нахождение самого большого простого числа трудоемкий процесс, требующий много времени и усилий.

Несоответствие со значением слова «простой» очевидно.

Микроисследование  № 6.  

Цель: ответить на вопрос: «Существует ли формула нахождения простого числа?».

Можно ли все-таки найти формулу для записи любого простого числа?

I способ: из микроисследования №3 следует, что  формулу  6n  можно использовать  в нахождении простых чисел. Но среди простых чисел, попадаются составные, которые надо отсеивать. А это сложно сделать.

 II способ:    Числа Мерсенна.

 Числа вида 2р -1, где р – простое число, называются  числами Мерсенна, впервые заметившего, что среди таких чисел много простых.   Это числа  3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287.  Но при р =11  число 2047 =23∙89 – составное. (См. приложение 7) Опять нужна проверка полученных чисел.

III способ:  Числа  Ферма.

   Французский математик Пьер Ферма, живший в 17в., утверждал, что значения  при натуральных значениях п  и п = 0 являются простыми числами.

Но Эйлер впоследствии показал, что при п = 5 число 4294967297 является составным, так как оно делится на 641.  И не все простые числа можно по этой формуле найти.

IV способ:    индийский.

 В 1934 году индийский студент Сундарам придумал способ отличать простые числа от составных. Он составил бесконечную таблицу, в которой числа первой строки увеличивались на 3, числа первого столбца последовательно увеличивались на 3, числа второго столбца - на 5, числа третьего столбца – на 7 и т.д.

 4      7       10     13      16      19     …               Если взять любое число из этой таблицы, умножить  

7       12     17     22      27     32     …              его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда

10     17     24     31      38     45     …              получится составное число.

13     22     31     40      49     58     …              Если проделать то же самое с числом, не входящим

16     27     38     49      60     71     …              в эту таблицу, то получится простое число.

…    …    …     …     …       …      …

Способ работает, но при достаточно больших значениях проверить сложно.(См. приложение 7)

VI способ:   скатерть Улама.

Иногда  формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Начав на спирали из всех натуральных чисел отмечать простые числа, Улам обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки.  (См. приложение 8) Но по этому способу трудно определять простые числа.

Вывод: итак, предполагаю, что формулы для однозначного вычисления  простых чисел не

существует.   А способы могут быть разными. Самый удачный, на мой взгляд, – «решето

Эратосфена». Если нельзя найти формулу простого числа, то эти числа  нельзя назвать

простыми по  значению слова «простой».

Микроисследование  № 7.  

Цель: найти промежуток времени, за который люди могут выявить простое число.

Я дала задание определенной группе людей: указать время, затраченное ими для ответа на вопрос: «Число 1723-простое или составное?».   Результат приведен в таблице:

Вывод: действительно, чтобы определить, является ли число простым, необходимо

затратить много времени (даже работая с микрокалькулятором). Среди  многозначных

 чисел найти простое число еще труднее.  В моем исследовании понадобилось приблизительно

2, 5 часа. В интернете узнали, что число 1723 –простое за 2 минуты.  

2. Заключение.

В своей работе я рассмотрела простые числа. Да, они легкодоступны к пониманию (по

определению), но очень сложны в нахождении. Поставленные перед собой задачи я выполнила.

Изучив весь материал, я пришла к выводу, что:

1. ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение темы «Простые числа»;
2. для простых чисел не существует формулы, по которой их можно вычислить;
3. не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна;
4. не существуют самых больших  чисел – близнецов.

В исследованиях постаралась показать, что простые числа не совсем соответствуют значениям и определению слова «простой». Гипотезу доказала: так как не нашла идеальную формулу для нахождения простого числа и  имеются несоответствия  между значениями  слова «простой» и простыми числами, то считаю, что исследуемые  числа назвать простыми (как требует определение слова «простой») нельзя.  По своей сути они очень сложны, многогранны и  хранят много тайн, неизвестного.

Результаты исследований и исторические факты по данной теме можно использовать при изучении  «Простые числа».

3. Список источников информации.

1. Википедия — свободная энциклопедия. Интернет
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений-М; «Мнемозина», 2007г.
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 5 класс.Часть I. – М.: «Ювента», 2002г.
4. Карпеченко Е. Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.
5. Крылов А.Н. Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 1994
6. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка3-е изд., стереотипное-М; «АЗЪ», 1996г.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
8. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.     Микроисследование 1.

Решето Эратосфена (диагональное)

1. Выпишем все целые числа от 1 до 100 в виде прямоугольной таблицы.
2. Вычеркнем 1, которая  не является ни простым, ни составным числом.

1. Вычеркнем все числа, кратные 2 (за исключением самой 2), проведя вертикальные черты во втором, четвертом и шестом столбцах.
2. Вычеркнем все числа, кратные 3, (за исключением самой 3), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число равно 5.
3. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 5, проведем диагонали, идущие вниз и влево.
4. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 7, проведем диагонали, идущие с наклоном вправо и вниз.
5. Числа 8,9 и 10 – составные, их кратные уже были вычеркнуты раньше.
6. Следующее простое число 11, 11∙11=121. Если бы таблица была больше, то пришлось бы      исключать кратные 11, проводя диагонали с более крутым наклоном. И так далее…

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица простых чисел до 1000.

Первую таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в 1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743.

 В настоящее время составлены таблицы всех простых чисел, не превосходящих 50 миллионов.  

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

Микроисследование 2.

Работа с таблицей простых чисел.

Текущая версия (не проверялась)

Количество простых чисел до 1000: 168 чисел.

Простые числа от 2 до 100:  25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97)

Простые числа от 100 до 200: 21 число (101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,  173, 179, 181, 191, 193, 197, 199)

Простые числа от 200 до 300:  16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400: 16 чисел (307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397)

Простые  числа от 400 до 500: 17 чисел (401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499)

Простые числа от 500 до 600: 14 чисел (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599)

Простые числа от 600 до 700: 16 чисел (601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691)

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797)

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887)    

Простые  числа от 900 до 1000:  14 чисел (907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)

Числа - близнецы до 500:   3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241;  269-271;  281-283; 311-313;   347-349; 419-421; 431-433; 461-463.  (24 пары.)

Числа - близнецы от 500 до 1000:  521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883.  (11 пар.)

Всего до тысячи 35 пар чисел-близнецов.

В интернете нашла, что самые большие известные числа-близнецы  

1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Вывод: количество пар близнецов до 500 (24 пары) больше, чем количество пар от 500 до 1000 (11пар), значит, количество чисел – близнецов уменьшается,   распределены простые числа и числа-близнецы   неравномерно; количество скоплений близнецов  не определено.

ПРИЛОЖЕНИЕ   4

Микроисследование 3.

Вывод: числа-близнецы, найденные по формуле, совпали с числами-близнецами, найденными по таблице простых чисел. По-моему, исключая пару (3; 5), можно по этой формуле находить числа близнецы. Можно  также находить и простые числа, но результат вычислений необходимо  проверять (а это сложно сделать, если проверять многозначные числа).  

ПРИЛОЖЕНИЕ   5

Микроисследование № 4.

25 : 100  100% = 25%                     109 : 600  100% = 18,2%                    

46 : 200  100% = 23%                     125 : 700  100% = 17,9%

62 : 300  100% = 20,7%                  139 : 800  100% = 17,4%

78 : 400  100% = 19,5%                  154 : 900  100% = 17,1%

95 : 500  100% = 19%                     168 : 1000  100% = 16,8%

Вывод: процент появления простых чисел с увеличением натуральных чисел уменьшается, а само количество простых чисел увеличивается.

   Мой вывод подтверждают  и данные из справочной литературы: количество простых чисел на отрезке натурального ряда от 1 до N очень быстро возрастает с увеличением N:

ПРИЛОЖЕНИЕ   6

Микроисследование  № 5.  

Историческая справка: Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу <<Начала>>. И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

  Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа.  Так две с лишним тысячи лет назад Евклид лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.

    В 1876 году француз Люка доказал, что число 2 127 – 1 простое, и 75 лет оно оставалось наибольшим из известных простых чисел

                       2 127 -1 = 170141183460469231731687303715884105727.

На сегодняшний момент  известны два самых больших  простых числа:    

2 44497 - 1 и 2 86243 - 1.

 Последнее число записано пока в книгу рекордов Гиннеса, в нем 25962 десятичных знака.

Найдено оно было в рекламных целях - демонстрация фирмой IBM возможностей очередного

    суперкомпьютера, которому для проверки этого числа на простоту с помощью специальных

изощренных тестов (пригодных только для чисел вида 2n -1) потребовалась неделя работы.  

Вывод: самого большого простого числа не существует. Нахождение самого большого простого числа трудоемкий процесс, требующий много времени и усилий.

ПРИЛОЖЕНИЕ  7

Микроисследование  № 6.  

II способ:  числа Мерсенна - числа вида 2р -1, где р – простое число.

Проверим, всегда ли получаются простые числа:

                   если р = 2, то 22-1=3  простое;

                    если р = 3, то 23-1=7  простое;

                    если р = 5, то 25-1=31  простое;

                    если р = 7, то 27-1=127 простое;

                    если р = 11, то 211-1=2047  составное.

IVспособ:      индийский.

4      7       10     13      16      19     …               Если взять любое число из этой таблицы, умножить  

7       12     17     22      27     32     …              его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда

10     17     24     31      38     45     …              получится составное число.

13     22     31     40      49     58     …              Если проделать то же самое с числом, не входящим

16     27     38     49      60     71     …              в эту таблицу, то получится простое число.

…    …    …     …     …       …      …

Числа из таблицы:

7 2+1=15;  13 2+1=27;  16 2+1=33;  19 2+1=39;  22 2+1=45;  25 2+1=51; 27 2+1=55;  

37 2+1=75;  38 2+1=77;  45 2+1=91;  52 2+1=105;  60 2+1=121;  67 2+1=135;  

7 2+1=143;  82 2+1=165 -  составные числа.  

Числа не из таблицы:

9 2+1=19;  11 2+1=23;  14 2+1=29;  15 2+1=31;  18 2+1=37;  20 2+1=41; 21 2+1=43;  

23 2+1=47;  26 2+1=53; 29 2+1=59;  30 2+1=61;  33 2+1=67;  35 2+1=71;  

39 2+1=79-  простые  числа.  

ПРИЛОЖЕНИЕ   8

Микроисследование  № 6.  

VI способ.  Скатерть Улама.

 Иногда своего рода формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Сидя как-то на скучной лекции, он, ни о чем не думая, начал рисовать решетку из горизонтальных и вертикальных линий. В одной из полученных таким образом клеток он поставил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки:    5 4 3    

                                                                           6 1 2

                                                           7 8 9

Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Улам, конечно, сразу понял, что такие линии говорят о закономерности, которую можно облечь в формулу для простых чисел. Компьютерная распечатка, дублирует то, что Улам сделал от руки. На компьютерном графике составные числа представлены маленькими белыми квадратиками, а простые - черными. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те так же будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют «скатертью Улама»), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Фрагмент спирали Улама - простейшей иллюстрации закономерностей в распределении простых чисел.   Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки.

Рис. 1.

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел — на рис. 2 светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изображённый на рис. 2, получил название «скатерть Улама»

            Рис. 2.

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, простые числа выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 и заканчивающейся числом 41.

  Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения.