"Исследование возможности пересечения параллельных прямых"
Опубликовано Васильева Светлана Алексеевна
вкл 29.07.2012 - 15:13
Автор:
Кошкаровский Денис
Тема исследования: «Возможность пересечения параллельных прямых».
В ходе работы над проектом учащийся познакомился с трудами великих математиков Евклида и Лобачевского, изучил их точки зрения на параллельность прямых, проанализировал и сделал собственные выводы.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 koshkarovskiy_takaya_raznaya_geometriya.zip | 1.26 МБ |
Подписи к слайдам:
Е
сли две прямые
а
и
в
образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы
α
и
β
,
сумма величин которых меньше двух прямых
углов
(
т.е. меньше 180
°),
то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы
α
и
β
(составляющие вместе
менее 180
°).
О чем говорится в
v
постулате Евклида ?
А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию?
Например:
вертикальные углы равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны
;
из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр
и др.
Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что
наше
,
как мы
думали,
трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым не является.
А живём мы в четырёхмерном искривлённом
пространстве - времени
, которое описывается общей геометрией Римана.
Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел.
Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.
Цели исследования
:
Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.
Выяснить,
существует ли доказательство пятого постулата Евклида?
Выяснить
, существуют ли геометрии, отличные от евклидовой?
Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского
:
Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися
Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
Все прямые углы равны;
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
ПОСТУЛАТЫ ЕВКЛИДА
В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.
И не получил противоречия.
Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество.
Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата.
Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона.
Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Такая разная
геометрия
Презентацию выполнил:
суворовец
Кошкаровский
Денис
34 учебная группа
ФГКОУ СПб СВУ МО РФ
Преподаватель: Васильева С.А.
Геометрия Лобачевского
Лобачевский построил новую геометрию, откинув
V
постулат
Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку
А
вне прямой
а
в плоскости, определяемой точкой
А
и прямой
а
, проходит по крайней мере две прямые
с
и
в
не имеющие общей точки с прямой
а
”.
В геометрии Лобачевского:
Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
Не
существует подобных фигур.
Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.
Информационные ресурсы
Литературные
1. Шейнина О.С. Соловьёва Г.М. Занятия школьного кружка. Москва.2002г.
2. Атанасян Л.С. Денисова Н.С. Курс элементарной геометрии.
1 часть. Москва. 1997г.
3. Акимова С. Занимательная математика. Санкт-Петербург, «
Тригон
», 1997г.
4. Шейнин Е.И.В царстве смекалки. Москва, Наука, 1982г.
5. Атанасян Л.С. и др. Учебник геометрии 7-9
кл
. Москва.2001г.
6. Левитин К.Е.Геометрическая рапсодия.-М.:Знание,1984г.
7.
Шарыгин
И.Ф.,
Ерганжиева
Л.Н. Наглядная геометрия.5-6
кл
.: Пос. для
общеобр.уч.завед.-М
.: Дрофа,1998г.
Интернет-Ресурсы
http://Vschool.ru
Виртуальная школа « Кирилла и
Мефодия
».
http://center.fio/ru//som
Московский центр
интернет-образования
http://dic.academic.ru
Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и
И.А.Ефрона
http://ru.wikipedia
Википедия
http://math.ru
История математики
В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.
НАЧАЛО
Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму.
Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.
Каково же применение нелинейных геометрий?
Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых пространств.
Геометрия Евклида
Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.
Другая геометрия?
В геометрии Римана:
две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;
сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°;
прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.
В каком мире мы живем ?
Какой геометрией он описывается ?
Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях"
Саккери
,
Лежандр
,
Гаусс
,
Больяй
,
и
Лобачевский
.
Лобачевский
Больяй
Гаусс
Лежандр
Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:
Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника
S=k
*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину
Гипотеза
Существует геометрия отличная от Евклидовой, в которой параллельные прямые имеют точку пересечения.
К данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной
параллельной
прямой.
Как формулируется равносильная аксиома параллельности?
А
В
b
a
Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее, не содержит никаких логических противоречий?
Геометрия Римана
Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.
Установлено
достоверно
замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.
сли две прямые
а
и
в
образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы
α
и
β
,
сумма величин которых меньше двух прямых
углов
(
т.е. меньше 180
°),
то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы
α
и
β
(составляющие вместе
менее 180
°).
О чем говорится в
v
постулате Евклида ?
А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию?
Например:
вертикальные углы равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны
;
из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр
и др.
Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что
наше
,
как мы
думали,
трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым не является.
А живём мы в четырёхмерном искривлённом
пространстве - времени
, которое описывается общей геометрией Римана.
Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел.
Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.
Цели исследования
:
Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.
Выяснить,
существует ли доказательство пятого постулата Евклида?
Выяснить
, существуют ли геометрии, отличные от евклидовой?
Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского
:
Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися
Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
Все прямые углы равны;
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
ПОСТУЛАТЫ ЕВКЛИДА
В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.
И не получил противоречия.
Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество.
Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата.
Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона.
Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Такая разная
геометрия
Презентацию выполнил:
суворовец
Кошкаровский
Денис
34 учебная группа
ФГКОУ СПб СВУ МО РФ
Преподаватель: Васильева С.А.
Геометрия Лобачевского
Лобачевский построил новую геометрию, откинув
V
постулат
Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку
А
вне прямой
а
в плоскости, определяемой точкой
А
и прямой
а
, проходит по крайней мере две прямые
с
и
в
не имеющие общей точки с прямой
а
”.
В геометрии Лобачевского:
Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
Не
существует подобных фигур.
Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.
Информационные ресурсы
Литературные
1. Шейнина О.С. Соловьёва Г.М. Занятия школьного кружка. Москва.2002г.
2. Атанасян Л.С. Денисова Н.С. Курс элементарной геометрии.
1 часть. Москва. 1997г.
3. Акимова С. Занимательная математика. Санкт-Петербург, «
Тригон
», 1997г.
4. Шейнин Е.И.В царстве смекалки. Москва, Наука, 1982г.
5. Атанасян Л.С. и др. Учебник геометрии 7-9
кл
. Москва.2001г.
6. Левитин К.Е.Геометрическая рапсодия.-М.:Знание,1984г.
7.
Шарыгин
И.Ф.,
Ерганжиева
Л.Н. Наглядная геометрия.5-6
кл
.: Пос. для
общеобр.уч.завед.-М
.: Дрофа,1998г.
Интернет-Ресурсы
http://Vschool.ru
Виртуальная школа « Кирилла и
Мефодия
».
http://center.fio/ru//som
Московский центр
интернет-образования
http://dic.academic.ru
Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и
И.А.Ефрона
http://ru.wikipedia
Википедия
http://math.ru
История математики
В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.
НАЧАЛО
Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму.
Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.
Каково же применение нелинейных геометрий?
Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых пространств.
Геометрия Евклида
Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.
Другая геометрия?
В геометрии Римана:
две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;
сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°;
прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.
В каком мире мы живем ?
Какой геометрией он описывается ?
Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях"
Саккери
,
Лежандр
,
Гаусс
,
Больяй
,
и
Лобачевский
.
Лобачевский
Больяй
Гаусс
Лежандр
Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:
Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника
S=k
*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину
Гипотеза
Существует геометрия отличная от Евклидовой, в которой параллельные прямые имеют точку пересечения.
К данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной
параллельной
прямой.
Как формулируется равносильная аксиома параллельности?
А
В
b
a
Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее, не содержит никаких логических противоречий?
Геометрия Римана
Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.
Установлено
достоверно
замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.
Пока бьют часы
Выбери путь
Снежная сказка
Мороз и заяц
Фокус-покус! Раз, два,три!