Необычный способ получения синусоиды и связанные с ним обычные преобразования графиков.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Кыринская средняя общеобразовательная школа»

Конкурс научно-исследовательских работ имени В.И.Сажина

     «Необычный способ получения синусоиды

и связанные с ним обычные преобразования графиков.»

                                                      Выполнила:

                                                                                                Грудинина Ксения Александровна,                                                                    

                                                                      ученица 11 а класса.

                                                             Руководитель:

                                                                         учитель математики

                                                                                              Грудинина Мария Михайловна.

с. Кыра

2011 год.

План.

Введение:                                                                                                            стр.1

- актуальность выбранной темы;

-гипотеза;

-цель;

-задачи;

-новизна и практическая значимость;

-план исследования                                                                                            

Основная часть.                                          

1.Способ получения синусоиды с помощью свечи                                       стр.2-4

   и график функции у=sinх                                                          

2.Связь между преобразованиями графиков и                                                

  условиями эксперимента.

2.1.Растяжение от оси Ох, сжатие к оси Ох и угол сечения                          стр.5

     (разреза свечи)                                                                                                              

2.2.Растяжение от осей Ох и Оу, сжатие к осям Ох и Оу                              стр.6

      и радиус сечения (толщина свечи).

2.3.Сдвиг по оси Ох и точка, через которую проходит                                  стр.7

       плоскость сечения                                                                                                              

Заключение:

-результаты;

-выводы                                                                                                               стр.8

Список литературы                                                                                            стр.9

Приложения                                                                                      

Введение.

Изучая тригонометрические функции, мы учились выстраивать их графики обычным образом – по точкам, используя числовую окружность и соответствующие значения.

В известной книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» предложен необычный способ образования синусоиды: если обернуть свечу несколько раз листком бумаги, затем перерезать свечу наклонно острым ножом и, наконец, развернуть бумагу, то по её краю получится линия, которая называется синусоидой.

Я провела такой эксперимент. Действительно кривая является линией, называемой синусоидой.

Такой практический способ получения синусоиды имеет ряд преимуществ:

график  «выстраивается» быстро, характер линии более «синусоидален», чем построенный от руки, а в начале изучения темы график, полученный таким образом, более нагляден и уже указывает на возможность практического применения.

Но как объяснить результат?

Почему получившаяся по краю бумаги кривая действительно синусоида, которая в разных опытах либо растянута, либо сжата?

Как связаны способ получения синусоиды и известные преобразования графиков: растяжение, сжатие, сдвиг? Возможно, это зависит от угла наклона разреза, от толщины свечи – условий этого необычного способа?

Тогда какая это зависимость?

Эти вопросы определили цель моего исследования.

Цель: .Математическое моделирование                                                                  

 способа получения и преобразования синусоиды с помощью свечи.

Чтобы ответить на поставленные вопросы я вернулась к учебникам по алгебре, геометрии, изучила дополнительную литературу, провела несколько экспериментов, используя миллиметровую бумагу и свечи, тщательно проанализировала  полученные результаты.

Перечисленные задачи исследования завершу цитатой А.Н. Крылова: «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или бессмысленна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».

Новизна работы заключается в рассмотрении другого способа получения синусоиды и её преобразований.

Значимость работы заключается в подтверждении универсальной применимости математических знаний.

План практической части  исследования:

-проведение эксперимента  - подтверждения способа получения синусоиды с помощью свечи;

-проведение экспериментов с изменёнными условиями: изменение угла наклона сечения , использование свеч разной толщины, выбор другой точки сечения.

-1-

1.Способ получения синусоиды с помощью свечи

   и график функции у=sinх

Каким бы ни было действительное число t, ему можно поставить в соответствие однозначно определённое число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку(1;0);
2. на окружности найти точку, соответствующую числу t;
3. найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t, а описанное соответствие есть тригонометрическая функция у=sin х.

Зная значения этой функции при заданных значениях переменной, можно выстроить соответствующий график, называемый синусоидой. х

у

Вернёмся к необычному способу получения графика-разрезу бумажного цилиндра, полученного с помощью свечи и рассмотрим его математическую суть.

-2-

Итак, практическую ситуацию-разрез бумажного  цилиндра вокруг свечи переведём на язык математики – построим математическую модель.

Для этого:

1) возьмём лист бумаги прямоугольной формы, изобразим оси Ох, Оу параллельно смежным сторонам;

у

х

                                                          2) свернём прямоугольник в круговой цилиндр вокруг свечи, радиус которого примем за 1;

3) через т.О – конец диаметра полученной окружности проведём сечение, составляющее с плоскостью окружности угол 45 градусов (разрежем круговой цилиндр), получим в сечении эллипс;

-3-

4) возьмём на эллипсе произвольную т.А и опустим перпендикуляры на       окружность и диаметр ОД: АВ и ВС.

ΔАВС прямоугольный, т.к. угол В 90 градусов, угол С 45 градусов по условию, следовательно ΔCAB – равнобедренный, а значит АВ=СВ.

 Для единичной окружности СВ по определению является синусом x, где x – значение дуги ОВ.

 Произвольно выбранная точка указывает на однозначность определения СВ: СВ=sin x,

но СВ = АВ, следовательно АВ=sin x.

Наибольшее значение СВ = 1. Развернём цилиндр в прямоугольник. Итак, полученная линия – кривая, для которой АВ = sin x, где x = ОВ, то есть эта кривая является частью синусоиды.

Итак, практический способ получения графика функции y = sin x смоделирован математически.

х

у

-4-

2.1  Понятно, что линия y = sin x не будет получена при другом угле разреза, так как АВ будет превышать наибольшее значение СВ, равное единице, или не достигать его. А значит график будет растянут от оси x или сжат к ней.

Изменю условия эксперимента, а именно разрежу круговой цилиндр под другим углом – меньше, чем 45 градусов. Действительно получится сжатая синусоида. Почему?

х

 Объясню с математической точки зрения.

Теперь АВ=СВ * tg α, где α есть              АСВ в прямоугольном ΔАВС. Так как, чем меньше угол α, тем меньше значение его tg, то при меньшем угле разреза получается сжатие к оси x.

Например, при угле разреза 30 градусов, получается: АВ=СВ * tg 30, но СВ=sin x, следовательно АВ=  1/√3  * sin x = 0,58 * sin x, а при угле, равным 60 градусам

 АВ = √3 * sin x = 1,7 * sin x.

-5-

у

 1,7

х

Итак, преобразования растяжение или сжатие к оси x, определяемые формулой

 у = k * sin x задаются изменениями угла разреза,  tg этого угла и есть коэффициент k.

2.2 А какое преобразование будет соответствовать эксперименту со свечой (круговым цилиндром) не единичного радиуса? x

α

x / а

-6-

Из рисунка явно следует преобразование, которое задаётся формулой y= a * sin  x/а

Эксперимент, проведённый со свечой, радиус которого больше исходящего в 2 раза подтверждает это.

у

х

2.3А если плоскость сечения не будет проходить через точку О ?, а например , через точку k, которая отстоит от точки О на некоторый угол φ? Явно, это будет сдвигом по оси х, формула которого y=sin (x - φ). Эксперимент иллюстрирует это.

у

х

-7-

                                                        ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Итак, синусоида действительно  получается особенным, интересным способом, на первый взгляд, далёким от математики, но объяснимым только с её помощью, а чисто теоретические преобразования графиков легко осуществляется таким необычным способом, а именно:
2. -способ получения синусоиды с помощью свечи, описанный в «Математическом калейдоскопе» Штейнгауза, моделируется математически, то есть кривая по краю бумаги соответсвует уравнению у=sin х;
3. -моделируются на языке математики и результаты экспериментов:

при уменьшении угла сечения происходит сжатие графика к оси х, определяемое аналитически У=к*sin х, 0<к<1;

при  увеличении угла-растяжение от оси х, У=к*sin х, к>1;

при увеличении толщины свечи- растяжение в к раз в направлении обеих осей, У=к*sin х/к, к>1

Такую связь между теорией и практикой, конечно, можно использовать при изучении темы «Графики тригонометрической функции и их преобразования». Такой способ – яркая иллюстрация  решений тригонометрических уравнений и неравенств.

Другим значением моего исследования может быть применение «способа синусоиды»

на уроках труда в начальной школе, где полученная плавная линия послужит, например, украшением аппликации.

И в заключение приведу цитату Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

-8-

                             Литература.

1.Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп» (М.: Наука, 1981)

2.А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа, учебник 10-11 кл.»(М: Мнемозина, 2004)

3.Л.С.Атанасян «Геометрия, учебник 10-11 кл»(М: Просвещение, 2001)

4.И.М. Смирнова «Необычный способ получения синусоиды» ж-л «Математика в школе» №3 1993

                            Приложения.

1. Фотографии экспериментов.
2. Экспериментальный материал(«синусоиды», полученные из бумажных цилиндров с помощью свеч ).
3. Презентация.

-9-