Исследовательская работа «Искусство отгадывания чисел»

Исследовательская работа ученика 7 класса Чепурнова Ивана.

Руководитель: учитель математики Е.Н.Молодых.

Ни одно человеческое исследование
не может назваться истинной 
наукой, если оно не прошло через
математические доказательства.
Леонардо да Винчи

Тема: «Искусство отгадывания чисел»

Цель:

1. Расширение кругозора и повышение интеллектуальной активности; стимулирование стремления к творчеству.
2.  Развитие вычислительных навыков, логического мышления, способностей самостоятельного поиска путей решения задач, интереса к изучению математики.

ВВЕДЕНИЕ

Арифметические фокусы – это эксперименты, основанные на свойствах чисел и действий, математических законах. И понять суть того или иного фокуса – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность. Математических фокусов очень много, они появились вместе с возникновением математики, как науки. Их можно найти в различной литературе, а можно придумать и самим.

«Математические забавы из «Арифметики» Л.Магницкого» 

Первое упоминание о математических фокусах встречаются в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени.

Одна глава книги была названа автором “Об утешных некиих действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Вот один из фокусов…

Я попрошу выйти к доске несколько учениц. Сейчас мы узнаем, кто из них взял перстень, на какой палец надел его и на какой именно сустав пальца. Сначала договоримся о номерах участниц, пальцев и суставов 

Сейчас я попрошу вас выполнить следующие действия:

номер, взявшего перстень умножить на 2;

 к произведению прибавить 5;

сумму умножить на 5;

к полученному числу прибавить номер пальца,

 результат умножить на 10;

к произведению прибавить номер сустава;

Секрет фокуса   От полученного в результате арифметических действий числа нужно отнять 250:

в остатке первая цифра слева - это номер взявшего кольцо,

 вторая - номер пальца,

 третья - номер сустава.

«Математическая забава М. Ю. Лермонтова» 

 Все вы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.

Вот отрывок из воспоминаний однополчанина поэта Е. И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости  (в Анапе) «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: "Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру". В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: "Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!" Поэт улыбнулся: "Колдун - не колдун, а математике учился", и раскрыл секрет фокуса…»

Вот один из фокусов М.Ю. Лермонтова:

задумать любое число,

прибавить к нему 25,

прибавить еще 125,

отнять 36,

вычесть задуманное число,

остаток умножить на 5,

полученное число разделить на 2.

Получится 285  

Секрет фокуса   (а + 25 + 125 – 36 - а) · 5 : 2 = 114 · 5 : 2 = 285.

Как видно, в процессе выполнения действий задуманное число а исключается, и собеседник выполняет остальные действия только над теми числами, которые дает сам отгадчик. Вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной.

«Математический фокус Дэвида Копперфильда» 

Фокусы знаменитого американского иллюзиониста восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством его воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу  таких фокусов                                                

«Удивительные часы» 

Некоторая вариация описанного фокуса Дэвида Копперфильда - угадывание задуманного числа на циферблате часов.

Задумайте какой-нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному вами числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня.

В этот момент  указка укажет на часах задуманное время.

Секрет фокуса:

Вначале нужно ударять указкой по циферблату по любым делениям до семи ударов. Восьмым ударом показывается число 12, а потом с каждым ударом перемещаемся влево (11, 10, 9 и т.д.) Когда вы скажете: "Довольно", — указка будет стоять на том часе, который вы задумали. Расчет очень простой. Всего будет ударов (20-х). Когда будет сделано восемь ударов, указка покажет число 12. С этого момента мы делаем еще столько ударов, сколько не достает вам до двадцати, так как, двигаясь влево, будут показываться числа, последовательно уменьшенные на единицу. 

                                                                                                                                                                Каждый из вас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5,отними задуманное число и так далее — всего пяток, а то и десяток действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

      Секрет «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения.

     Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы:

     Затем фокусник просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает?

    Чтобы понять это, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое- то число х, то после всех действий у вас должно получиться 4х + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

     Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 33. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение 4х + 1= 33 и находят; х = 8.Иными словами, от окончательного результата надо отнять  единицу  (33-1=32) и затем полученное число разделить на 4  (32 : 4 = 8); это и даёт задуманное число (8). Если же у вас получилось 25, то фокусник в уме проделывает действия 25 – 1 = 24, 24 : 4 = 6 и сообщает вам, что вы задумали 6.

     Поняв это, вы можете ещё более удивить и озадачить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать известное число (скажем: прибавить 2, отнять 5 и т. д.), умножать на известное число (на 2, на 3 и т. п.), прибавлять или отнимать задуманное число. Ваш приятель нагромождает, чтобы запутать вас, ряд действий. Например, он задумал число 5 (этого он вам не сообщает) и, выполняя действия, говорит:

1. Я задумал число, умножил на 2, прибавил к результату 3, затем прибавил задуманное число; теперь я прибавил 1, умножил на 2, отнял задуманное число, отнял 3, ещё отнял задуманное число, отнял 2. Наконец, я умножил результат на 2 и прибавил 3.  

Решив, что он уже совершенно вас запутал, он с торжествующим  видом  сообщает  вам:

— Получилось 49.

К его изумлению вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.

Как вы это делаете? Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х. Он вам говорит: «Я задумал число...», а вы про себя твердите: «значит, у нас есть х». Он говорит: «...умножил его на 2...» (и он, в самом деле произ водит умножение чисел), а вы про себя продолжаете: «теперь 2х». Он говорит: «...прибавил к результату 3...», и вы немедленно следите: 2а;+ 3, и т. д. Когда он «запутал» вас окончательно и выполнил все те действия, которые перечислены выше, у вас получи лось то, что указано в следующей таблице (левая ко лонка содержит то, что вслух говорит ваш приятель, а правая — те действия, которые вы выполняете в уме)

  В конце концов, вы про себя подумали: окончатель ный результат 8х + 9. Теперь он говорит: «У меня по лучилось 49». А у вас готово уравнение: 8x + 9 = 49. Решить его — пара пустяков, и вы немедленно сооб щаете ему, что он задумал число 5.

Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изобретает» их.

Есть, правда, один случай, когда фокус не удает ся. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили х+14, а затем ваш товарищ говорит: «...теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним:- (х + 14) – х = 14 — в самом деле, получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступай те так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля — ведь он со всем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не уз нали задуманное число,  фокус  получился  на  славу!

  Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):

    В тот момент, когда у вас получилось число 12, т.е. выражение,  не  содержащее   больше  неизвестного  х

Вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12,

Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы»

Вывод:  Можно освоить много фокусов с помощью математики, можно придумать их самому. Мне нравится изучать и познавать секреты математических фокусов. В дальнейшем я планирую освоить фокусы «Отгадывание суммы очков на открытых гранях игрального кубика» ,

«Угадать в какой руке белая пешка»,  «Сколько палочек в кулаке?» ,

«Угадывание возраста и дня рождения», «Таинственные квадраты»,

«Мгновенное умножение трехзначного числа на 999»,                      

«Быстрое суммирование» и  другие.

 Математические фокусы помогают мне развивать логическое мышление и закреплять вычислительные навыки.