Способы решения диофантовых уравнений и их применение для решения экономических задач

Обоснование выбора темы:Посещая занятия заочной математической школы при МГУ им. М.В.Ломоносова,  планируя направление своего дальнейшего обучения, мы задумались над влиянием развития математической науки на окружающий человека мир. Часто в жизни людей встречаются задачи, приводящие к решению диофантовых уравнений,  которые необходимо быстро и правильно решать.  Например, очень важно для пенсионеров, живущих в частном секторе, где необходимо провести газ, решить такую задачу:Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод протяженностью 150 м. Имеются трубы 13 м и 9м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода.

Думаем, что для нефтяников очень важно уметь решать задачи такого типа: Надо разлить 1500 т. нефти в цистерны емкостью в 50 т. и 80 т. так, чтобы все использованные цистерны были полными. Сколько цистерн той или другой емкости потребуется?

Актуальной задачей для наших сверстников, которые стремятся самореализоваться в современных условиях, стала такая: Евгений  работает летом в кафе«Баскин Робинс».За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Даже директору нашей школы, далекому от изучения математики, пришлось  решать задачу, сводящуюся к решению уравнений с несколькими переменными: Школа получила 1 млн. руб. на приобретение  учебного оборудования  (на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили, оборудование  стоимостью 3000, 8000 и 12000 руб. за единицу. Сколькими способами школа  может закупить это оборудование? Выбрать один из способов.

Мы предполагаем, что существуют  способы решения уравнений с двумя переменными, которые  позволяют  решить многие прикладные задачи экономического содержания эффективно и экономично даже населению, не имеющему специальной математической подготовки.

Цели:

1.  Научиться самим и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами.

2.  Применить эти методы решения к задачам из жизни человека, а также к задачам,  предлагаемым на вступительных экзаменах  в ВУЗы и в олимпиадных заданиях.

3. Распространить информацию через:

- составление сборника задач с решениями в помощь всем интересующимся людям, учителям и школьникам;

- публикацию методических рекомендаций на сайте школы.

Задачи:

-исследовать методы  решения задач, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;

-решить задачи из жизни, вступительных экзаменов в ВУЗы экономического направления и олимпиадных заданий, применив изученные методы.

- разработать  методическое пособие для всех интересующихся (подобрать или самим составить задачи с экономическим содержанием, приводящие к решению уравнений с двумя переменными).

Этапы и организация работы:

1.      Изучение  литературы по данному вопросу.

2.      Изучение способов  решения диофантовых уравнений.

3.      Подборка задач экономического содержания, в том числе задач со вступительных экзаменов в ВУЗы и из жизни человека.

4.      Решение подобранных задач при помощи уравнений с двумя переменными разными способами. Поиск  наиболее оптимальных их решений.

5.      Оформление  работы.

6.      Создание сборника задач в помощь учителям и школьникам.

Объектом работыявляется теория решения диофантовых уравнений первой степени.

Предмет исследования:способы решения диофантовых уравнений.

Методы исследования:

·         Поиск, изучение и обобщение теоретического материала при чтении научной литературы

·          Изучение  статей в журналах

·         Поиск информации   в сети Интернет

·         Подбор  и поиск решения экономических задач из окружающей жизни.

Основные выводы:

                        Итак,  научившись решать уравнения с двумя переменными, применять их для решения экономических задач,  мы выбрали для себя наиболее удобные способы: при помощи алгоритма Евклида и при помощи компьютера.

            Составленный  сборник задач экономического содержания для обучающихся, которые интересуются данным вопросом; учителей, преподающих курсы по выбору, элективные курсы; возможно, для экономистов и инженеров, решающих хозяйственные вопросы и всех интересующихся,  поможет в освоении способов решения таких задач.

Практическая значимость работы:

1.      Создание сборника задач с решениями для практического использования.

2.      Применение населением для решения практических хозяйственных задач.

3.      Помощь школьникам при подготовке к поступлению в ВУЗы.

4.      Помощь учителям в организации внеклассной, факультативной работы с обучающимися.