Буклет "Квадратные уравнения"

О теореме Виета

Вывод формулы решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q

Например:

Если Х1 и Х2 корни уравнения

Х2 + 3Х – 10 = 0, то

Х1·Х2 = – 10, значит корни имеют разные

                         знаки

Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю

                          корень  - отрицательный

Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 =  2

Из истории квадратных уравнений:

Квадратные уравнения уже  умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

 Всласть поевши, развлекалась.

 Их в квадрате часть восьмая

 На поляне забавлялась.

 А двенадцать по лианам…

 Стали прыгать повисая…

 Сколько было обезьянок

 Ты скажи мне, в этой стае?.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.    
Школа-интернат № 9

ОАО «РЖД»

                          ( ПОДГОТОВКА  К ГИА)

Решение квадратных уравнений

                                                                           Выполнил:

Ученик 9 класса

Бесков Арсений

Использование данного материала поможет экономить время и эффективно решать уравнения и задания, связанные с ними , при подготовке к ГИА и при тестовой системе сдачи вступительных экзаменов.

Кинель  2012

Практикум по материалам ГИА

1. Решите уравнение . Если в уравнении более одного корня, в ответе запишите наименьший.

2. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наибольший.

3.  Не решая уравнения 2x2 + 2x − 3 = 0, найдите значение х1+х2, где x1, x2 — корни уравнения.

4.    Найдите наименьший корень уравнения:    

 (x + 3)4 + 3x2 + 18x − 1 = 0.

5. Укажите все значения a, при которых уравнение:

x3 - 2ax2 - (2a — 3)x= 0 имеет три различных корня.

Свойства коэффициентов  квадратного уравнения

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а  второй по теореме Виета равен  ;

Если  в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1), а второй  по теореме Виета равен ;

Например:           137х2 + 20х – 157 = 0.

                               a = 137, b = 20, c = -157.

                               a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

                               x1 = 1,

Ответ: 1;    

Графический способ решения квадратного уравнения

Решим уравнение

Для этого построим два графика

1)y=x2              2)y=x+1

Ответ :

Различные способы решения квадратного уравнения

ax2+bx+c=0

Выражение                             называют дискриминантом  квадратного уравнения.

Корни квадратного уравнения:

       Если   D>0,

         Если D=0,

         Если D<0,                Нет корней

Второй коэффициент четный: