"Диофант и его уравнения"

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

Министерство образования

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

Муниципальное образование Ямальский район

Муниципальная общеобразовательная  школа-интернат

Мыскаменская школа-интернат

среднего (полного) общего образования

Диофант и его уравнения

Автор:

Арапов Александ Юрьевич  

ученик 9  класса

Мыскаменской школы-интерната

Научный руководитель:

Пономарева Наталья Владимировна

учитель математики

Мыскаменской школы – интернат

п. Мыс Каменный 2006  год

Содержание

I.Введение……………………………………………………………………………………2

II.Эпоха Диофанта…………………………………………………………………………..2

III.Неопределенные уравнения первой степени и их решения…………………………3

1. Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by = c …………………3
2. Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by + cz = d …………...7

IV.Неопределенные уравнения второй степени вида  x2 + y2 = z2……………………...9

V.Заключение………………………………………………………………………………......10

VI. Список  используемой литературы…..……………………………………………….......11

VII. Приложение……………………………………………………………………………….12

I. ВВЕДЕНИЕ

        Окружающий мир, потребности народного хозяйства, а зачастую, и повседневные хлопоты ставят перед человеком все новые и новые задачи, решение которых не всегда очевидно. Порою тот или иной вопрос имеет под собой множество вариантов ответа, из-за чего происходят затруднения в решении поставленных задач. Как выбрать правильный и оптимальный вариант?

         С этим же вопросом напрямую связано решение неопределенных уравнений.  Такие уравнения, содержащие две или более переменных, для которых требуется найти все целые или натуральные решения, рассматривались еще в глубокой древности. Уравнениями в целых числах много занимался древнегреческий математик Диофант Александрийский. Он изобрел много разных способов решения подобных уравнений.

         Неопределенные уравнения интересны и до сих пор изучаются математиками.

При выполнении работы были поставлены следующие задачи:

1. расширить свой кругозор знаний по математике;
2. выявить необходимость появления неопределенных уравнений
3. рассмотреть некоторые методы решения неопределенных уравнений.
4. показать практическое применение неопределенных уравнений
5. Создать программу решения диофантовых уравнений  на языке Turbo Pascal 7.0.

II. ЭПОХА  ДИОФАНТА

         О Диофанте нам   известно очень мало. До наших времен дошла одна из эпиграмм Палатинской Антологии:

         Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

         Мудрым искусством его скажет усопшего век.

         Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

         И половину шестой встретил с пушком на щеках.

         Только минула седьмая, с подругою он обручился.

         С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

         Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

         Отнят он был у отца ранней могилой своей.

         Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

         Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:      

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

        Из сочинений Диофанта до наших дней дошло два: "О многоугольных числах" и "Арифметика". Однако сохранились они не полностью. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимыми пояснениями. К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6.

III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ I-ОЙ СТЕПЕНИ И ИХ РЕШЕНИЯ

         Существуют разные степени неопределенных уравнений, и чем выше степень, тем более сложным является решение неопределенного уравнения. Мы рассмотрим неопределенные уравнения I-ой степени двух видов:  

1.) ax + by =  с                  2.) ax +  by +  cz = d

         1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ I-ОЙ СТЕПЕНИ ВИДА  ax + by =  c.

         Уравнение вида  ax + by =  c  является одни из простейших неопределенных уравнений I-ой степени, но не смотря на это,  решить такое уравнение весьма не просто. Можно выделить два метода решения неопределенных уравнений вида  ax + by =  c: метод перебора и метод «спуска».

        1.Метод перебора. Метод перебора включает в себя перебор чисел вместо переменных  х и у, с учетом, что уравнение при определенном подборе чисел обращается в верное равенство.

         Рассмотрим уравнение:                 4,5х +  6у = 57.

         Нужно найти все натуральные значения переменных х и у.

          Решение:  Помножим  обе части уравнения  на 2, чтобы избавиться от дробных чисел, получим:                                         9х + 12у = 114.

Выразим  у  чрез  х:                                

Далее воспользуемся методом перебора (учитывая, что х  и  у  N):                                                                  

Таким образом, подставляя вместо  х  числа, удовлетворяющие равенству, получили некоторые значения  у  (причем  х  и   у   N).                                  

         2.Метод «спуска». Перебор вариантов при решении уравнения в целых числах часто оказывается весьма трудоемким. Поэтому рассмотрим еще один старинный прием – метод «спуска» (или метод рассеивания). Таким методом решения неопределенных (диофантовых) уравнений I-ой степени с целыми коэффициентами занимались еще в Древней Индии. Этим способом и в наше время решают такие уравнения.

   Но всегда ли возможно решить уравнение вида ax + by = c в целых числах?  Можно рассмотреть три случая:

         1).  Если свободный член с неопределенного уравнения ax + by = c не делится на

 НОД (a, b), то уравнение не имеет целых корней.

         2).  Если коэффициенты  a, b являются взаимнопростыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение.

         3).  Неопределенное уравнение ax + by = c, в котором a, b – взаимнопростые числа допускает бесконечное множество целых решений. Все эти решения задаются формулами:  x = λ + bt     y = β – at, где (λ, β) – некоторые решения уравнения, at  - принадлежит множеству целых чисел.

         Рассмотрим уравнение:               19х – 8у = 13 (1).

         Требуется найти все целые решения уравнения.

         Решение:  Выражая  у – неизвестное с наименьшим по модулю коэффициентом через  х  получим:                                              (2).

         Теперь нам нужно выяснить, при каких целых значениях х соответствующие  значения  у  также являются целыми числами. То есть, выделив целую часть, запишем уравнение (2) следующим образом:    (3).   Из уравнения (3) следует, что  у  при целом значении  х  будет иметь целое значение только в том случае, если выражение  также будет иметь целое значение, заменим это выражение на  z  (z  ).

         Значит  (4), сведем к решению уравнения (4) с двумя неизвестными           х  и  z, тогда его можно записать так:      3x – 8z = 13 (5).

        Продолжая тем же способом, из уравнения (5) получим:  (6).

         Получается, неизвестное  х  принимает целое значение при целом  z  тогда, когда  будет принимать целое значение. Пусть это выражение равно  p  (p), получим:

  (7)       или     (8).

        Далее:                                        (9).

       Аналогично (4) и (7)  должно быть целым числом, подставим вместо этого выражения  q  (q ), получаем:      (10),

преобразуем                                          (11).

      Из уравнения (11) получаем:         (12).

     Заметим, что при любых значениях 2q  p будет принимать целые значения.

     Из равенств (3), (6), (9), (12) при помощи последовательных подстановок находим следующие выражения для неизвестных  х  и   у  уравнения (1):

         Таким образом, формулы:     ,      

при  q  =  0,    ,  ,  … дают все целые решения уравнения (1).

         Далее приведены примеры таких решений:

         Так как одной из моих целей было показать практическое применение неопределенных уравнений, то рассмотрим одну из практических задач.

         Задача: Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Мыс Каменный – Лабытнанги - Мыс Каменный. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р. (Для решения подобного уравнения создана программа на языке программирования Turbo Pascal 7.0 – Приложение I).

         Решение: Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а  у – оплата труда водителей. Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р. Получим уравнение:                                  .

      Для решения этого уравнения метод перебора окажется трудоемким процессом. Так что воспользуемся методом «спуска» (методом рассеивания).

      Выразим переменную  у  через  х:               ,

выделив целую часть, получим:                       (1).

     Чтобы значение дроби  было целым числом, нужно чтобы, 2х было кратно 4.               Т.е. 2х =  4z, где  z  - целое число. Отсюда:      

     Значение  х  подставим в выражение (1):

.

      Итак:                                    

         Т.к.  х,  у   0, то 19000  z  0, следовательно, придавая  z  целые значения от 0 до 19000, получим следующие значения   x и  y:

         Из настоящих данных о транспортных затратах известно, что 1 т  дизельного  топлива (х) стоит 18000 р., а оплата труда водителей, выполняющих рейс (у) составляет 10000 р. (данные взяты приближенно). По таблице найдем, что значению  х,  равному 18000 и значению   у,   равному 10000 соответствует значение  z,  равное 9000, действительно:     ;       .    Задача решена.

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ I-ОЙ СТЕПЕНИ ВИДА ax + by + cz = d.

         Для выполнения равенства   необходимо, чтобы коэффициенты  а, b и с  не имели такого общего множителя, который не входил бы в  d, иначе уравнение не будет решено в целых числах. Если же у этих коэффициентов имеется общий множитель, который содержится в  d, то он удаляется путем сокращения. При таких результатах может возникнуть 2 случая:

         1.) При трех коэффициентов  a, b и c может возникнуть, по крайней мере, два взаимнопростых коэффициента. Например:  В данном примере коэффициенты  a и b  взаимнопросты.        

         Пусть a, b - взаимнопросты. Перенесем z в правую часть и применим к уравнению ax + by = d - cz метод «спуска», считая временно z известной величиной. В результате найдем x = λ + bt, y = β - at, где λ, β - многочлены 1-ой степени относительно z. Придавая z и t произвольные целые значения, мы получим все целые решения уравнения.

         2.) Каждые два коэффициента имеют общий множитель, но все три взаимнопросты. Например:   . Здесь коэффициенты  a и b  имеют общий множитель 3,    b и c – множитель 5,   a и c – 4 и все три коэффициента взаимнопросты.

         Пусть теперь среди коэффициентов a, b и c нет ни одной пары взаимнопростых.         Пусть h = НОД (a, b) и a1, b1 - частные от деления a, b на h. Тогда уравнение примет вид:                                     ha1 x + hb1 y + cz = d, откуда .  Чтобы левая часть была целым числом, необходимо, чтобы было равно целому числу t.  Следовательно,

a1x + b1y = t (2),                       cz + ht =d   (3).

Но НОД (a1, b1) = 1, а потому уравнение (2) имеет целые решения вида:

x = λ + b1t1, y = β - a1 t1, где λ β - многочлены 1-ой степени относительно t с целыми коэффициентами.

Заметим, что НОД (c, h) = 1, т.к. h, будучи делителем чисел a и b, не делитель c следует, что уравнение (3) имеет целые решения вида:                     z = γ + ht2, t = δ - ct2.

Подставим эти значения в уравнения для x и y, мы представим эти неизвестные в виде многочленов 1-ой степени с целыми коэффициентами от t1 и t2. Давая t1 и t2 произвольные значения (целые), мы получим все целые решения x, y, z исходного уравнения.  Рассмотрим уравнение: Нужно найти любые целые решения уравнения.

         Решение:   Уравнение относится к первому типу уравнений, поэтому:

,

выразим  y:                       .

         Для того, чтобы коэффициент  у  имел целое значение, необходимо, чтобы выражение   также имело целое значение, пусть , или ,

отсюда:                                                    ,

тогда:             .

         Итак:                              

         Придавая  z  и  t  целые значения, получим решение исходного уравнения:

         Теперь рассмотрим  практическую задачу

         Задача: Дана однокомнатная квартира. Стоимость содержания жилья на 1 м2 составляет 8 р., стоимость теплоэнергии на 1 м2  равна 33 р., стоимость 1 м3 воды на человека – 16 р. Требуется определить какую площадь имеет квартира, какая площадь отапливается в этой квартире и норматив потребления воды на человека в течение месяца, если известно, что в квартплате за месяц всего начислено 1416 р. (Все данные в задачи взяты приближенно). (Для решения подобного уравнения создана программа на языке программирования Turbo Pascal 7.0 – Приложение II).

Решение:  Обозначим переменными:  x количество кв. м в квартире,  y – количество кв. м в квартире, которым отведена теплоэнергия, а  z – количество воды (м3), потребляемое на  человека. Тогда  - всего начислено в квартплате за месяц. А по условию задачи,   всего начислено 1416 р. Получим уравнение:            .

         Выразим  x:                           .

         Выделив целую часть уравнения, получим:   ,пусть выражение  будет целым, чтобы коэффициент  x  тоже был целым. Заменим это выражение на  t  (t ):                    .

         Теперь подставим значение  y  в уравнение  :

.

         Значит                                                                

         Придавая  z  и  t  произвольные целые значения, получим решение исходного уравнения:

         Нам известно, что однокомнатная квартира имеет площадь 33 м2, в ней отапливается площадь, равная 32 м2, а норматив потребления воды на человека составляет 6 м3. Получается,     При таких значениях коэффициентов x,  y и  z  значение t  равно 4. Проверим:

         Таким образом, мы решили задачу.

IV. НЕОРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ II-ОЙ СТЕПЕНИ ВИДА  x2 + y2 = z2

         Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.

         Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (Рис. 1)

                                                        Рис. 1.

В точке С, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,

32 + 42 = 52. Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения    

         Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений?

         Один из путей решения уравнения  в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .

                                 3,  5,  7,  9,  11,  13,  15,  17,  19,  21,  23,  25,  27 … .

А теперь внимание! Нет ли и в нижней строке квадратных чисел? Есть! Первое из них 9 = 32, над ним 16 = 42 и 25 = 52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.

         Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13 и т. д. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему:

         Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.

         Составлять такие строки – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее.

         Проверим что если  - нечетное число, то  и .  Проверим также, что в этом случае равенство выполняется, т. е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

   если то   получилась первая пифагорова тройка;

   если то  и   - вторая тройка и т. д.

V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

         Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Как мы убедились, с помощью неопределенных уравнений разрешаются проблемы, ставшие у нас на пути.

         Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени.

         Проведя данное исследование, я овладел новыми математическими навыками, рассматривая некоторые методы решения неопределенных уравнений. Решая уравнения, получал некоторые результаты, которые можно использовать как в ежедневной практической деятельности, так и при рассмотрении проблем, окружающего нас Мира. Изучая диофантовы уравнения, показал практическое им применение.

         Именно Диофант положил начало всему этому большому математическому разделу, в чем его огромнейшая заслуга.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Н. Я. Виленкин и др. «За страницами учебника математики»: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. Для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений  – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.

    2)   А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах (Серия «Популярные лекции

          по математике»). – М.: Наука, 1983.

    3)   А. Жуков. Неопределенные уравнения. Энциклопедия для детей, том 11.

          Математика. – М.: Просвещение, 1990.

    4)    В. И. Нечаев. Простейшие неопределенные уравнения. Детская энциклопедия,

            т. 3 (1-е изд.), т. 2 (2-е изд.).

    5)    Я. И. Перельман. Занимательная алгебра – М: Наука; 1970.

    6)    Л. Ф. Пичурин. За страницами учебника алгебры: кн. Для учащихся 7-9 кл.

           сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

    7)    Д. Пойя. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.

Приложение I

program diofant_1;

uses crt;

var a,b,c,x,i,j:integer;

    y:real;

begin

  clrscr;

  writeln('Программа решения уравнения вида ax+by=c методом перебора');

  write('A= ');

  readln(a);

  write('B= ');

  readln(b);

  write('C= ');

  readln(c);

  writeln('Введите начальное значение диапазона');

  readln(i);

  writeln('Введите конечное значение диапазона');

  readln(j);

  writeln('Некоторые значения X и Y которые принадлежат множеству натуральных чисел');

  for x:=i to j do

    begin

      y:=(c-a*x)/b;

      if ((c-a*x) mod b = 0) and (y>0) then writeln('x = ',x,'    ','y =',y:2:0);

    end;

readkey

end.

Приложение II

program diofant_2;

uses crt;

var a,b,c,d,y,z,i,j:integer;

    x:real;

begin

  clrscr;

  writeln('программа решения уравнения вида ax+by+cz=d методом перебора');

  write('A= ');

  readln(a);

  write('B= ');

  readln(b);

  write('C= ');

  readln(c);

  write('D= ');

  readln(d);

  writeln('Некоторые значения X и Y и Z которые принадлежат множеству натуральных чисел');

  for z:=1 to 10 do

  for y:=1 to 10 do

    begin

      x:=(d-b*y-c*z)/a;

      if ((d-b*y-c*z) mod a = 0) and (x>0) then writeln('x = ',x:1:0,'  ','y = ',y,'  ','z = ',z);

    end;

readkey

end.