Измерение углов на модели плоскости Лобачевского

Муниципальное образовательное учреждение

«Седельниковская общеобразовательная школа №1»

Седельниковского муниципального района Омской области

Научное общество учащихся «Поиск»

Измерение углов на модели плоскости Лобачевского

                                                                              Автор работы: Дейнеко

                                                         Станислав Игоревич

                                      Класс: 11б

                                                                 Школа: Седельниковская

   Общеобразовательная школа №1

        Руководитель работы:

                                                                  Дресвянникова Светлана

        Аркадьевна

                         Учитель математики        

Седельниково, 2012

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I.  О моделях плоскости Лобачевского………………………………….5

п.1.1  Наиболее известные модели  плоскости Лобачевского …………….…..5

Глава II. Измерение углов на карте Бельтрами-Клейна…………………….…7

п.2.1  Вывод формулы вычисления углов между прямыми….………………...7

п.2.2 Описание программы вычисления углов между прямыми на карте Бельтрами-Клейна ………………………………………………………………11

Заключение……………………………………………………………………….14

Список использованной литературы…………………………………………...15

Введение

Известно, что кроме евклидовой геометрии существуют и другие – неевклидовы. Одна из них – геометрия Лобачевского. Аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от аксиоматики геометрии Евклида только лишь в одном, правда, очень существенном  пункте. В этой геометрии содержатся все четыре группы аксиом абсолютной геометрии, а аксиома параллельности заменена ее отрицанием, а именно следующей аксиомой.

Через данную точку Р, не лежащую на прямой АВ, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие в плоскости, определяемой прямой АВ и точкой Р, и не пересекающие прямую АВ [1, с.291]. 

Для доказательства непротиворечивости неевклидовых геометрий пользуются методом создания моделей, в которых реализуется данная аксиоматика. Так, для геометрии Лобачевского, были созданы модели Э.Бельтрами, Ф.Клейна, А.Пуанкаре. Исследуя данные интерпретации, мы задались вопросом: каким образом измеряются углы на карте Бельтрами-Клейна. Этот вопрос и явился проблемой нашего исследования.

 Обосновать актуальность исследования можно тем, что данная проблема в научной литературе недостаточно разработана и изучена.

Цели  работы:  

1. Вывести формулу вычисления угла между прямыми, показанными на карте Бельтрами, не прибегая к стереометрии.
2. Разработать  программу, позволяющую вычислять сумму углов треугольника на плоскости Лобачевского по известным координатам вершин (на карте Бельтрами-Клейна).

Объектом исследования является одна из моделей плоскости Лобачевского – карта Бельтрами-Клейна.

Предметом – измерение углов между прямыми на этой модели.

Задачи исследования:

1. изучение теоретического материала по данной теме;
2. вывод аналитических соотношений, с помощью которых можно  вычислять величину угла между прямыми на карте Бельтрами-Клейна;
3. создание программы вычисления углов на плоскости Лобачевского.

Глава I.  О моделях плоскости Лобачевского

п.1.1  Наиболее известные модели  плоскости Лобачевского

Геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии).

Плоскость Лобачевского — это плоскость, в которой определены прямые линии, а также движения фигур, подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется аксиомой Лобачевского: «Через точку А вне прямой а можно провести в их плоскости α, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную» [1].

Для доказательства непротиворечивости системы аксиом  пользуются методом  создания моделей.

Моделью (интерпретацией) системы аксиом называется система определенных объектов и отношений между ними, для которых выполнены все аксиомы этой системы [2, с.110].

Созданием моделей для геометрии Лобачевского занимались такие ученые, как Э. Бельтрами, Ф.Клейн, А. Пуанкаре и другие. Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 г. заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. 

В 1871 г. Ф. Клейн указал такую модель плоскости Лобачевского, в которой  за плоскость Лобачевского принимается внутренность некоторого круга К (граница исключена) (Рис.1).

Точки на этой модели рассматриваются в обычном смысле, а прямые − как  произвольные хорды (концевые точки исключены). Эту интерпретацию также называют моделью Бельтрами-Клейна. На ней выполняются все аксиомы Лобачевского.

По формуле Клейна на этой модели можно вычислять расстояния между точками, измерив подходящие отрезки на модели.

Глава II. Измерение углов на карте Бельтрами-Клейна

п.2.1  Вывод формулы вычисления углов между прямыми

Для того чтобы выяснить, как измеряются углы в интерпретации Бельтрами-Клейна, необходимо вначале ввести определение меры угла на плоскости Лобачевского.

Мера угла (а,b) есть функция α его сторон а и b, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. α(а,b) – инвариант относительно группы движений на плоскости Лобачевского;
2. α(а,b)+ α(b,c)= α(а,c), если луч b лежит внутри угла (а,c);
3. α(а,b)=π/2  для прямого угла [2, с. 256].

Обратимся вновь к карте Бельтрами. На этой модели углы искажаются, если иметь в виду евклидов смысл чертежа. Проекция угла на карту Бельтрами-Клейна будет больше, то есть будет превосходить величину оригинала (Рис. 2). При этом надо отметить следующее исключение. Любой угол с вершиной в центре круга Бельтрами моделируется  в натуральную величину  [3, с.113].

Известный способ вычисления углов на карте Бельтрами сводится к следующему. Над картой Бельтрами изображают полусферу.

Каждой хорде круга ставят в соответствие вертикальную полуокружность, расположенную на полусфере и отображающуюся в эту хорду при прямоугольном проектировании (Рис. 3).

Если хорды а и b пересекаются в точке М, то соответствующие им полуокружности a1 и b1  пересекаются в точке М1 на полусфере. На карте Бельтрами-Клейна величиной угла между прямыми а и b, которые пересеклись в  точке М, объявляется число, равное углу между кривыми a1 и b1 в точке их пересечения М1.  За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. 

По определению углом между двумя кривыми называется угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения [4, с.152].

Пусть на карте Бельтрами-Клейна известен угол α между прямыми а и b, измеренный на модели (Рис.3). Для нахождения реальной его величины на плоскости Лобачевского требуется вычислить угол β на полусфере. Будем искать его как угол между векторами  и , касательными к дугам вертикальных  полуокружностей в точке М1 их пересечения.

Рассмотрим вначале частный случай: найдем угол между прямой и диаметром.  Введем декартову систему координат с центром в точке О таким образом, чтобы диаметр совпадал с осью Оу. Точку пересечения кривых обозна-чим через М. Пусть нам известны также ОМ = a,  R – радиус карты Бельтрами. Эти длины измерены на модели.

Рассмотрим вначале вектор  (рис.4). Он касателен к полукругу радиуса R и лежит в плоскости yOz. Пусть длина вектора  равна R:     .

Тогда .

Единичный вектор:  

Координаты вектора :        

         Обратимся теперь к вектору . Он касателен к полукругу радиуса r. Пусть длина вектора  равна r: (рис.5)

Здесь

        Проекция вектора  на горизонтальную плоскость будет (рис.6)

        Тогда единичный вектор

Координаты вектора  :

Угол β между единичными векторами  и  найдем из формулы скалярного произведения векторов:

.

     Теперь рассмотрим общий случай: вычислим угол между двумя произвольными прямыми (углом между двумя прямыми считается наименьший). Так как , то  можно вычислить угол (α1+α2). то есть, для вывода общей формулы необходимо рассмотреть угол () на полусфере (Рис.7).

Тогда:                            

        Таким образом, чтобы вычислить реальный угол между прямыми, необходимо знать градусные меры углов α1 и  α2, измеренные на модели, которые образуются между заданными прямыми и диаметром, а также расстояние от центра карты Бельтрами до точки пересечения прямых. Этого достаточно, чтобы, не прибегая к стереометрии и не изображая полусферу над картой Бельтрами, вычислять углы между прямыми на плоскости Лобачевского.

п.2.2  Описание программы вычисления углов между прямыми

 на карте Бельтрами-Клейна

Пользуясь выведенной формулой вычисления угла между прямыми на карте Бельтрами-Клейна, можно вычислить, например, сумму углов треугольника на плоскости Лобачевского (на карте Бельтрами) и наглядным образом показать, что она будет меньше 180˚.  

В работе в качестве наглядного пособия (в среде Visual Basic) разработана программа, позволяющая вычислять сумму углов треугольника на плоскости Лобачевского по известным координатам вершин (на карте Бельтрами-Клейна).

Начальное окно программы выглядит следующим образом (рис. 8):

Для получения окружности, изображающей карту Бельтрами, необходимо нажать кнопку «Построить». Будет построена окружность с фиксированным радиусом и координатами центра (рис.9).

Далее, пользуясь кнопками со стрелками, и тем самым, изменяя координаты вершин, строим треугольник (рис.10).

Затем, для подсчета суммы углов в заданном треугольнике, необходимо нажать кнопку «Посчитать» (рис.11).

Полученное значение  и будет являться суммой углов треугольника на плоскости Лобачевского.

Данную программу можно использовать в методических целях, демонстрируя зависимость сумм углов от форм и размеров треугольников из плоскости Лобачевского.

Заключение

Геометрия Лобачевского является теорией, имеющей строгое научное обоснование, и немалую роль при этом играют ее модели.

Одной из моделей, на которой реализуются все аксиомы геометрии Лобачевского, является модель Бельтрами-Клейна. На данной модели  углы искажаются, если иметь в виду евклидов смысл чертежа.

 В ходе исследования были выведены формулы для вычисления углов между прямыми на плоскости Лобачевского. Используя эти соотношения, можно, не отображая плоскость Лобачевского на пространство Евклида, находить величину угла на карте Бельтрами-Клейна, зная только радиус карты Бельтрами и расстояние от точки пересечения прямых до центра круга.

В качестве наглядного пособия (в среде Visual Basic) разработана программа, позволяющая вычислять сумму углов треугольника на плоскости Лобачевского по известным координатам вершин (на карте Бельтрами-Клейна) с использованием выведенной формулы.

\

Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч. II.:Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1976. – 447 с.
2. Костин В.И. Основания геометрии. – 2-е изд. – М.: Учпедгиз, 1948. – 303 с.
3. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. – 2-е изд. – Учпедгиз, - 1955.
4. Трайнин Я.Л. Основания геометрии: Пособие для пед. институтов /Под ред. Ю.И.Соркина. – М.: Учпедгиз, 1961. – 326 с.