Теорема Пифагора в прикладных задачах

Оглавление

Введение        3

Основная часть        4

1.Теорема Пифагора в прикладных задачах        4

1.1. История возникновения теоремы Пифагора        4

1.2.Прикладное применение теоремы Пифагора        6

1.3.Теорема Пифагора в прикладных задачах школьного курса        15

1.4.Анализ результатов анкетирования учащихся  9 классов по теме «Теорема Пифагора в прикладных задачах»        15

1.5.Подбор прикладных задач на применение теоремы Пифагора,        16

составленных автором работы        16

Заключение        23

Список используемых источников и литературы        24

Введение

Актуальность исследования.

Различают две основные области математики — чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин "прикладная математика" иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда — к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач. Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований "прикладной математики". Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет — во втором.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

В современных учебниках по математике для основной школы, на мой взгляд, недостаточно отражена прикладная направленность изучаемого материала, фактически отсутствует разнообразие примеров применения теоретических знаний на практике. Моё стремление к какой-то мере восполнить выявленный пробел в практической направленности математической подготовки.

Объектом исследования являлась практическая направленность школьного курса математики. Предмет исследования  - применение теоремы к решению задач прикладного характера

Цель исследования - изучение истории и технологии решения прикладных задач с применением теоремы Пифагора.

Для достижения цели исследования были выдвинуты задачи:

1. Рассмотреть историю возникновения теоремы Пифагора
2. Выявить в каких областях применяется теорема Пифагора
3. Изучить технологию решения прикладных задач с применением теоремы Пифагора
4. Составить самостоятельно задачи прикладного характера на применение теоремы Пифагора

Основная часть

1.Теорема Пифагора в прикладных задачах

1.1. История возникновения теоремы Пифагора

Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них — это теорема Пифагора...

Иоганн Кеплер.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора это её простота, красота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о её широком применении.

Кто такой Пифагор?

Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.

Однако одни полагают, что он первым дал её полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге.

О теореме Пифагора в своих работах писали многие учёные: греческий писатель-моралист Плутарх, математик 5 века Прокл и другие. Возможно, кто-то из вас читал сонет немецкого писателя - романиста Шамиссо

Пребудет вечной истина, как скоро

Её узнает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном, Лаэртом и Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне: "Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам".

Доказательство теоремы считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось "ослиным мостом" или "бегством убогих", а сама теорема - "ветряной мельницей" или "теоремой невест". Учащиеся даже рисовали карикатуры и составляли стишки вроде этого:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны.

Шаржи  из учебника XVI  века к теореме Пифагора.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придем

Формулировки теоремы тоже различны. Общепринятой считается следующая формулировка: "В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов"

Геометрическая формулировка.

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин кат

1.2.Прикладное применение теоремы Пифагора

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Авиация

Задача 1. С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Решение:

 По теореме Пифагора:

4x2+(0,75x*2)2=20002

6,25x2=20002

2,5x=2000

x=800

0,75x=0,75*800=600.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч

Физика

Задача 2. Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°.

Решение:

Модуль суммы первой пары сил равен:

F1+22=F12+F22+2*F1*F2 cos α 

где α - угол между векторами F1 и F2, т.е. F1+2=200√ 3 Н. Как ясно из соображений симметрии вектор F1+2 направлен по биссектрисе угла α, поэтому угол между ним и третьей силой равен:

β=60°+60°/2=90°.

Теперь найдём равнодействующую трёх сил:

R2=(F3+F1+2 )

R=400 Н.

Ответ: R=400 Н.

Строительство

Окно

Задача 3. В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его весьма прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1)ширине окна b для наружных дуг и 2) половине ширины, т.е. b/2 -для внутренних. Остаётся ещё полная окружность, касающаяся четырёх дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то её диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т.е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. Тогда становится ясным и положение её центров.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; рассмотрим, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на этом рисунке.

Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r =b/4. Радиус ρ внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+ρ, один катет равен b/4, а другой b/2-ρ. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+ρ)2=(b/4)2+(b/2-ρ)2 

или

b2/16+bρ /2+ρ2=b2/16+b2/4-bρ+ρ2,

откуда

b*ρ/2=b2/4 - bρ.

Разделив на b приводя подобные члены, получим:

3*ρ/2=b/4, ρ=b/6. 

Крыша

Задача 4. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение:

Треугольник ADC - равнобедренный AB = BC = 4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда: из треугольника DBC: DB = 2,5 м, DC =4,7 м ,  из треугольника  из треугольника ABF: AF= 5,7 м

                                        F

                                                D

A        B                        C

Задача 5. Как следовало бы поступить, чтобы надёжным образом получить прямой угол?

Решение:

Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.

Молниеотвод

Задача 6. Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.

Ответ: h ≥ (a2+b2)½

Астрономия

Задача 7. На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t' = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t' = s

Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, через который проходит свет, и который мы тоже рассчитали. Получаем уравнение:

s2 = l2 + d2

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

                                В

        А        С

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

Задача 8. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) 

Решение:         

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB

OB=r + x. 

Используя теорему Пифагора, получим 2,3 км

Ответ: 2,3 км

Телевидение

Задача 9. Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=500 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x. 

Используя теорему Пифагора, получим

Ответ: 2,3 км.

Древние задачи

Задача 10. Из учебника Леонтия Магницкого. Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать .

Решение:

x2+1172=1252

x2=442

x=44

Ответ: 44 стопы

Задача 11. У древних индусов был обычай предлагать задачи в стихах:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода глубока?

Решение.                                                                    0,5 м

                                                                                              Х  м        Х+0,5  м

По  теореме Пифагора имеем:

 (x+0,5)2- x2= 22,                                                                                      2 м

x2+ x + 0,25- x2= 4,

x = 3,75.

Ответ: 3,75.

Задача 12. Две задачи из «Математики в девяти книгах» (Древний Китай, II в. до н.э.).

Задача 12.1. из девятой книги. «Имеется водоем со стороной в 1 чжан (=10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Решение. В ABC ABC = 90. Пусть BC = x чи, тогда AC = x + 1 (чи); AB = 5 чи. По теореме Пифагора

1) (x + 1)2 = 52 + x2;

x2 + 2x + 1 = x2 + 25;

2x = 24;

x = 12.

2) 12 + 1 = 13 (чи).

Ответ. глубина воды 12 чи, длина камыша 13 чи.

Задача 13.2. из девятой книги. «Имеется бамбук высотой 1 чжан (= 10 чи). Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня. Спрашивается: какова высота после сгибания?» (рис. 4).

Рис. 4.

Решение. BD – высота бамбука. При сгибании бамбука вершина D перешла в A. СB – высота бамбука после сгибания. Пусть CB = x чи, тогда CD = AC = 10 – x (чи), AB = 3 чи,

AC2 = AB2 + BC2,

(10 – x)2 = 9 + x2,

100 – 20x + x2 = 9 + x2,

– 20x = – 91,

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Земледелие

Задача 14. Размеры трех участков, имеющих формы прямоугольных треугольников, различны, но площади у всех одинаковы и составляют 3360 м². Катеты одного треугольника 140 м и 48 м, гипотенуза 148 м. Катеты второго треугольника 80 м и 84 м, гипотенуза 116 м. Найдите размеры третьего участка, если они также выражены целыми числами.

1.3.Теорема Пифагора в прикладных задачах школьного курса

1.4.Анализ результатов анкетирования учащихся  9 классов по теме «Теорема Пифагора в прикладных задачах»

1. Знаете ли вы теорему Пифагора?

2) Хотели ли вы решать прикладные задачи на уроках на применение теоремы Пифагора?

2. Где применяется теорема Пифагора?

1.5.Подбор прикладных задач на применение теоремы Пифагора,

составленных автором работы

1. Парк в селе Петровка имеет форму прямоугольника. Какова длина главной аллеи, идущей по диагонали парка, если его площадь равна 7200 , длина одной из сторон 200 м?

Решение: Найдём ширину 

b = 36 м

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС найдём АС

+

 203 (м)

Ответ:  203 м

2. Пусть каждая спичка имеет длину 1 дюйм. Сложите из 12 таких спичек одну фигуру площади 6 кв. дюйма.

3        5

4

Решение:

          S = 6 (кв. дюймов)

3. Пожарная лестница длиной 20 м стоит на машине, на высоте 2 м от земли и на расстоянии 5 м от здания. До какого этажа можно на ней добраться, если высота этажа 3 м?

В

        20 м

С        А

      2 м

Д        5 м        М        

        5 м

По теореме Пифагора из треугольника АВС найдём ВС:

= +

 м

Найдём BD:

 м

Найдём количество этажей:

 : 3  7

Ответ: 7

4. Между двумя зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на высоте 12 м и 15 м над землёй. Найдите длину жёлоба.

  В

        ?

   С                А

15 м

                           12 м

        Д                                

                10                 М

Решение:

По теореме Пифагора  из треугольника АВС найдём АВ:

Ответ: 10,4 м

5. Высота водонапорной башни 20 м. Вокруг башни ров шириной 5 м. Подойдёт ли  для ремонта башни лестница длиной 21 м?

        А

        ?

             20 м

        С        5 м        B

Решение:

По теореме Пифагора  из треугольника АВС найдём АВ:

+

 20,6 (м)

Ответ: да

6. От пятнадцатиметрового столба нужно протянуть провод к зданию дома на высоте 5 метров. Столб находится на расстоянии 6 м от дома. Хватит ли провода длиной 10 м?

        В

                             15 м         C        A

        5 м

   Д                М

                                                6 м

Решение:

По теореме Пифагора  из треугольника АВС найдём АВ

Ответ: нет

7. Земельный участок имеет форму квадрата со  стороной 100 м. Сколько  нужно плиток размером 1 м ×1 м для тропинки шириной 1 м, идущей по диагонали участка?

                                    100 м

        В        С

      100 м

        А        Д

Решение:

По теореме Пифагора  из треугольника АВС найдём АС

+

 141,4 (м)

Ответ: 142 плитки

8. С восьмиметровой башни брошен камень. Башня находится на расстоянии 4 м от места падения камня. Какое расстояние пролетел камень?

                   А

8 м

                В        4 м                        С

Решение:

По теореме Пифагора  из треугольника АВС найдём АВ

+

  8,9 (м)

Ответ: 8,9 м

9. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.  Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Решение:

Найдём длину одного троса АВ по теореме Пифагора из треугольника АВС:

АВ – гипотенуза, АС и ВС – катеты  треугольника АВС

Тогда длина четырёх тросов 4*13 = 52 м, а у нас всего 50 м

Ответ: не хватит двух метров.

Заключение

В своё время Ж Адама отметил, что приложения математических знаний к практике полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы, Он сравнивал теоретические знания и их практическое применение с деревом и листом: «Дерево держит лист, но лист питает дерево». Постепенное превращение науки в непосредственную производительную силу современного общества определило знание по предметам естественно-математического цикла как базовое для овладения специальными знаниями, как квалифицированные требования к специалистам многих современных профессий. Поэтому изучая теоретические основы того или иного предмета, учащийся должен чётко представлять в какой области практики могут быть применены полученные им знания.

Выполнив работу, получили выводы:

1. Появление задач прикладного характера обусловлено практической деятельностью человека
2. Теорема Пифагора применяется в различных областях (строительство, астрономия, авиации, физика, мобильная связь и т.д.)
3. Первые прикладные задачи с использованием теоремы Пифагора были решены в глубокой древности
4. В школьном курсе математики недостаточное количество прикладных задач
5. Задачи прикладного характера интересны ученикам школы
6. Результаты исследования могут быть полезны на уроках математики и на внеклассных занятиях