"Золотое сечение"

Опубликовано Светлова Елена Алексеевна вкл 09.01.2013 - 17:41

Автор:

Туманин Андрей и Берёза Михаил.

Эту работу учащиеся защищали на научно-практической конференции.

Скачать:

Вложение	Размер
zolotoe_sechenie_-_doklad.doc	683.5 КБ

Предварительный просмотр:

V окружная научная конференция учащихся

СЕКЦИЯ «Естественно-технические науки»

(математика)

Тема: «Золотое сечение»

Авторы: Берёза Михаил

Туманин Андрей

учащиеся 11 «Б» класса

МОУ СОШ № 3

г.о. Новокуйбышевск

Самарской области

Научный руководитель:

Светлова Елена Алексеевна

учитель математики высшей категории

МОУ СОШ № 3

г.о. Новокуйбышевск

Самарской области

г.о. Новокуйбышевск 2009

Содержание

Цель...........................................................................................................................3

Задачи.......................................................................................................................3

Введение...................................................................................................................4

Пропорция золотого сечения.......................................................................5
История золотого сечения............................................................................6
Построение пропорции.................................................................................8
«Золотые фигуры.........................................................................................10

«Золотой» прямоугольник....................................................................10
«Золотой» треугольник.........................................................................11
«Золотой» пятиугольник......................................................................12
Спираль Архимеда................................................................................13

Золотое сечение в искусстве......................................................................14

Золотое сечение в живописи................................................................14
Золотое сечение в архитектуре города Новокуйбышевска...............15

Заключение.............................................................................................................17

Список литературы................................................................................................18

Введение

Изучая в школе курс математики, мы очень заинтересовались темой золотого сечения. Учение об отношениях и пропорциях пришло к нам с глубокой древности. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии. Теория отношений и пропорции была подробно изложена в «Началах» Евклида (IIIв. до н.э.). Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Поэтому целью нашей работы стало: воспользовавшись различной литературой по геометрии, по черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре города Новокуйбышевска.

Чтобы достигнуть поставленной цели, нам надо было решить данные задачи:

Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».
Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции.
Рассмотрим золотую пропорцию и связанные с нею отношения.
Продемонстрировать и разобрать понятие золотой спирали в живой природе.
Показать применение «золотого сечения» в эпоху Возрождения.
Показать применение «золотого сечения» в архитектуре города Новокуйбышевска.

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей, это соотношение приблизительно равно 0,618.

Нас особенно заинтересовало применение золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе. Знаменитый зодчий Ле Корбюзье обозначал отношение золотого сечения знаком φ (фи). Он нашел это отношение во многих пропорциях человеческой фигуры и часто применял при проектировании зданий. Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ. Отношение высоты здания к эго длине равно 0,618.

Соразмерность, выраженная числом φ, по свидетельству многих исследователей, наиболее приятна глазу. Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с числом φ. Портрет Монны Лизы (Джоконды) основан на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Окружающие нас предметы так же дают примеры золотого сечения. Например, переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к числу 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев, третья расположена в месте золотого сечения (рис.1).

Рис. 1. Расположение листьев в золотом сечении

Всегда привлекала внимание людей совершенством формы – пентаграмма – пятиконечная звезда. Она считается амулетом здоровья. В наши дни пятиконечная звезда красуется на флагах и гербах многих стран. В ней, как говорится, «где ни копни везде золото». Дело в том, что в этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих её отрезков (рис.2).

Рис.2. Пятиконечная звезда в золотом сечении

Оказывается, пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Этим и удивительна связь природы и математики.

1. Пропорция золотого сечения

"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении".

Иоганн Кеплер.

Пятиконечная звезда – пентаграмма – очень красива, недаром её помещают на свои флаги и гербы многие страны. Её красота, оказывается, имеет математическую основу. Попробуйте нарисовать пейзаж и проведите на листе бумаги – будущей картине – линию горизонта. Почему вы и многие художники проводят линию горизонта именно так? А потому, что отношение высоты картины к расстоянию от верхнего края до линии горизонта равно отношению расстояния от верхнего края до линии горизонта к расстоянию от линии горизонта до нижнего края картины. Это отношение и есть отношение золотого сечения.

Пропорции золотого сечения часто используются художниками не только при проведении линии горизонта, но и в отношениях между другими элементами картины. Леонардо да Винчи находил это отношение в пропорциях человеческого тела. Древнегреческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при оформлении Парфенона.

Рси.3. Человеческое тело в пропорциях золотого сечения

Так чему же равно золотое сечение? Если высоту картины принять равной 1, а расстояние от верхнего края до горизонта обозначить через – х, то из условий золотого сечения получим: 1 : х = х : (1 – х). Преобразовав это уравнение получим х2 – х – 1 = 0.

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.). Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Рис.4. Динамические прямоугольники

Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников (рис.4).

Платон (427...347гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности вопросам золотого деления.

Рис. 5. Парфенон

Парфенон (рис. 5) имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира (рис.6). В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис.6. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд) (рис.7).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Рис.7. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

3. Построение пропорции

Рис.8. Деление отрезка прямой по золотому сечению. ВС = 1/2 АВ; СД = ВС

Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

4. "Золотые" фигуры

4.1. «Золотой» прямоугольник

Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора

МС2=а2+(а/2)2=5а2/4

В силу чего

АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ

Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Рис. 9. Прямоугольник в золотом сечении

Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

4.2. «Золотой» треугольник

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины. Через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ.

Рис.10. «Золотой» треугольник

На перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

4.3. «Золотой» пятиугольник

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис.11).

Рис.11. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС - 3a - 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС, получаем:

180 = (3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

Отсюда имеем

Итак, , что и требовалось доказать.

4.4.Спираль Архимеда

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

5.Золотое сечение в искусстве

5.1. Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Рис. 12. Портрет Монны Лизы

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (рис.12).

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

5.2. Золотое сечение в архитектуре города Новокуйбышевска

Рассматривая золотую пропорцию в мировой архитектуре, мы задались целью, а есть ли в нашем родном городе Новокуйбышевске здания, построенные в соответствии с золотой пропорцией. Мы обратили внимание на здания «Руси», городской думы, железнодорожного вокзала и Дворца Культуры имени Ленина. Есть ли в них какая-то соразмерность, согласованность в строении. Мы решили исследовать его на пропорцию золотого сечения.

«Русь». г.о. Новокуйбышевск

Измерив высоту от низа до арки – 10м, ширину – 17,4м, высоту от арки до верха – 6,2м и расстояние между колоннами – 6,6м «Руси» мы пришли к выводу, что это здание построено в отношении золотой пропорции, так как отношение ширины между колоннами к ширине равно примерно 0,379=φ2, а отношение высоты от арки до верха к высоте от низа до арки равно 0,618. В этом здании наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих его отрезков.

Городская дума. Г.о. Новокуйбышевск

Расстояние между симметрично расположенными колоннами можно выразить чяерез различные степени числа φ.

Железнодорожный вокзал. г.о. Новокуйбышевск

Здесь наглядно видно отношение длины между крайними колоннами к длине всего здания равно примерно 0,618=φ. А также высота здания без купола относиться к высоте всего здания с куполом, как золотое сечение.

Дворец Культуры имени Ленина. Г.о. Новокуйбышевск

Расстояние между симметрично расположенными колоннами можно выразить чяерез различные степени числа φ.

Можно найти много зданий архитектуры построенных с использованием золотой пропорции.

Творения, несущие в себе конфигурацию золотого сечения, представляются соразмерными и согласованными, всегда приятны взгляду.

Золотое сечение лежит в основании гармонии и красоты мироздания.

Заключение

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали. Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении".