Графический способ решения уравнений с параметрами

Графический способ

решения уравнений с параметрами

выполнил выпускник 9 класса

Протопопов Павел

Графическое решение уравнений с параметрами

Что является графиком функции у = х2 + 1?  (Парабола у = х2, смещенная вверх на одну единицу).

Что является графиком функции у = а? (Прямая, параллельная оси Ох)

Сколько решений, в зависимости от параметра а, имеет уравнение х2 + 1 = а?

(Если а < 0, прямая у = а не пересекает график у = х2 + 1; 
если 0 ≤ а < 1 прямая у = а не пересекает параболу. 
Если а = 1 парабола и прямая имеют единственную точку пересечения, т.е. исходное уравнение имеет единственное решение; 
при а > 1 таких точек пересечения две).

Ответ:

при а < 1 – корней нет,
при а = 1 – единственный корень,
при а > 1 – два корня.

Рассматривается уравнение |х2 – 2| = а

Как построить график левой части уравнения? (Строим параболу у = х2, переносим вниз вдоль оси Оу на 2 единицы вниз. Верхнюю часть оставляем без изменений, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно оси Ох).

Сколько решений имеет уравнение |х2 – 2| = а в зависимости от параметра?

(При а < 0 – решений нет, при а = 0 – 2 решения, при 0 < а < 2 – 4 решения, при а = 2 – 3 решения, при а > 2 – 2 решения).

Далее рассматривается уравнение, где правая часть имеет иной вид |х| = х + а

Что является графиком функции у = х + а?

(у = х – прямая, которая является биссектрисой 1 и 3 координатных углов;
у = х + а – прямая, параллельная у = х при а ≠ 0.
При а > 0 – прямая двигается вверх;
при а < 0 – прямая двигается вниз).

Строим графики функций у = |х| и у = х

Получаем ответ:

При а < 0 – решений нет;
при а = 0 – бесчисленное множество решений;
при а > 0 – единственное решение.