КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНСТРУИРОВАНИИ ШВЕЙНЫХ ИЗДЕЛИЙ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНСТРУИРОВАНИИ

 ШВЕЙНЫХ ИЗДЕЛИЙ

Анисимова Олеся

Группа 303 ГБОУ СПО СО «Первоуральский политехникум»

Г.Первоуральск

Научный руководитель: Ногина Наталья Александровна

Преподаватель математики высшей категории ГБОУ СПО СО

«Первоуральский политехникум»  г.Первоуральск

        Профессия закройщик, которую я получаю, предполагает построение лекал для раскроя, конструирование одежды. При конструировании одежды используются следующие основные элементы графических построений:

1. построение базисной сетки;
2. определение положения конструктивных точек чертежа засечками дуг;
3. построение лекальных кривых;

Эти три метода широко используются в практике и изучаются на уроках. Но ч прочитала еще об одном методе: построение кривых второго порядка с помощью проективных дискриминантов. Меня заинтересовали кривые второго порядка, поэтому целью моей работы является рассмотреть некоторые кривые второго порядка и показать, как их использовать в профессии закройщика.

Задачи данной работы ответить на ряд вопросов:

1. Что такое полярная система  координат?
2. Как строятся  кривые в этой системе?
3. Есть ли интересные кривые в  прямоугольной декартовой системе координат?
4. Возможно ли применение кривых второго порядка в профессии «закройщик»?

1. Полярная система координат.

Полярная система координат задается произвольной точкой (полюсом) О и лучом ОХ - полярной осью. Тогда положение точки М на плоскости определяется двумя величинами: 1) ее расстоянием  ρ = |ОМ|  от полюса О или полярным радиусом;  2) величиной угла  φ, образованного отрезком ОМ с полярной осью ОХ (рис.1). Угол  φ  считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Рис.1. Полярная система координат.

Положение точки М заданием ρ и φ определяются однозначно: отрезок ρ – положение точки на  луче ОМ, а угол φ определяет направление луча. Однако,  угол φ определяется не однозначно, через  2πk, где k – целое число  полярный угол повторяется. При этом, расстояние до точки М может быть различным или постоянным. Для устранения неоднозначности в случае повторения значений ρ в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ в диапазоне от  π до 2π.

        Связь между полярными и декартовыми координатами устанавливается из соотношения между углами и сторонами треугольника ОМА (рис.2).

х = ρ cosφ;     y = ρ sinφ ;     ρ2 = х2 + у2  ;        tg φ = .  

Рис.2. Связь полярных и декартовых координат.

2. Кривые второго порядка в полярной системе координат.

2.1. Спираль Архимеда.

Рассмотрим линию, определяемую уравнением  = а , где а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Построим график  этой функции при а = 1, для этого найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.

Откладывая полученные значения на соответствующих лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции  = . Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда (рис.3.). Расстояния между витками одинаковы, так АА1 = А1А2 = А2А3 

      Рис.3. Спираль Архимеда.                           Рис.4. Логарифмическая спираль.

2.  Логарифмическая спираль.

Кривая, пересекающая все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же углом φ.  В полярной системе координат задается уравнением                             ρ=а е к φ.

 Точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно удаляясь от него при φ > 0 (рис.4).  Расстояния между витками, по сравнению со спиралью Архимеда  не одинаковы! При отрицательных значениях φ кривая совершает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.

3. Лемниската Бернулли.

Лемнискатой называется геометрическое место точек М, произведение расстояний  МF1 · МF2 = а2 , т.е.  величина постоянная. Уравнение Лемнискаты в декартовых координатах  имеет вид:  (х2 + у2)2 – 2а2(х2 – у2) = 0

Исследовать кривую по этому уравнению довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то уравнение примет более простой вид:             ρ2 = b2 cos 2φ.  Начало координат – узловая точка с касательными  у =  х, таким образом, кривая проходит через полюс при    φ =    + ,   к Z.

Рис.5. Лемниската Бернулли.

4. Улитка Паскаля.

Улиткой Паскаля называется кривая, определяемая уравнением

                                         ρ= а cosφ + l , где а – диаметр круга.

Вид кривой зависит от величин а и  l: при    а > l  получаем кривую с внутренней петлей, при а = l  кривая имеет точку возврата – начало координат (рис.6), в этом случае кривую называют кардиоидой.

Рис.6. Улитка Паскаля.

5. Розы.

Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид                     ρ = α sin κφ,     где α и κ – постоянные.

Если κ = m/n – число рациональное, то роза - алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если m и  n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из одинаковых лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ нечетном (рис.7)  и из 2κ лепестков при κ четном (рис.8).

 Рис.7.  Трехлепестковая роза.              Рис.8. Четырехлепестковая роза.

3. Кривые второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат.

В прямоугольной декартовой системе координат чаще всего рассматриваются окружность, эллипс, гипербола и парабола. При этом уравнения этих линий приведены к каноническому (типовому) виду.

(х – а)2 + (у – b)2 = R2  - окружность

х2/а2 + у2/в2 = 1  - эллипс

х2/а2 -  у2/в2 = 1  - гипербола

х2 = 2p y  - парабола.

В школьном курсе математики не упоминается о других кривых – циклоидах, эпициклоидах  и гипоциклоидах, а эти линии невероятно красивы!

Циклоида – это линия, которую описывает закрепленная в плоскости круга точка, когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой.

Уравнение циклоиды в параметрической форме:

х = а(t – sin t);     y = a(1 – cos t), где а – радиус окружности

Циклоида называется обыкновенной, если точка взята на окружности (рис. 9. линия 1), укороченной, если точка взята внутри круга (рис.9. линия 2), удлиненной, если точка – вне круга (рис.9. линия 3).

Рис.9. Циклоиды.

Эпициклоида получается при качении круга по окружности внешним образом, гипоциклоида – внутренним образом. В декартовой системе координат эти линии задаются параметрически:        

 Эпициклоида (рис.10)

 x = (А + а)cosφ – a cos (A+a)φ/a

y =  (А+ а)sin φ – a sin (A+a)φ/a

гипоциклоида (рис.11) получается при замене а на (-а).

   Рис.10.Эпициклоида                                        Рис.11. Гипоциклоида.

5. Применение кривых второго порядка в профессии «закройщик».

Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей.

Спираль Архимеда находит широкое применение в механике, например в кулачковых механизмах, которые преобразуют вращательное движение кулачка в поступательное движение толкателя. Представление о спирали Архимеда дают звуковая дорожка на грампластинке, торец рулона обоев, шарик на нитке, разматывающейся от стержня. Эту кривую получаем при равномерном наматывании ниток на шпульку в механизме швейных машин.

Спираль Архимеда дает линию кроя декоративного элемента – волан. Этим способом можно нарисовать волан прямо на ткани и выкроить его с минимальными отходами ткани. Таким способом можно из небольшого кусочка ткани выкроить волан достаточно большой длины. Этот способ хорош, если  нужны воланы для оформления платья или юбки с  ассиметричной линией кроя – то есть в тех случаях, когда равномерность и одинаковость завихрений волана не важна. На рисунке 12 представлен орнамент ткани с применением спирали Архимеда.

Рис.12. Орнамент ткани со спиралью Архимеда.

Многие вещи в природе могут дать представление о логарифмической спирали, например раковина улитки последовательные витки которой не одинаковы, а все более и более утолщаются. Семена подсолнуха расположены в соцветии по дугам логарифмической спирали, длина листьев растений от нижних к верхним часто подчинена логарифмическому закону.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

В основу алгоритма графических построений, осуществляемых в автоматизированном режиме, положен  метод проективных дискриминантов кривой. Такой способ графического построения кривых второго порядка является более сложным и в то же время более точным способом оформления криволинейных срезов деталей. Проективный дискриминант (f) характеризует степень кривизны кривой линии. Он определяется отношением отрезка А1А2, отсекаемого  кривой на медиане треугольника АВС, образованного касательными к кривой в начальной и конечной точках, и хордой ВС, к длине медианы АА2              f = А1А2/АА2

Пример использования проективных дискриминантов (f1 = f4 = 0,5 и                    f2 = f 3 = 0,42) для построения линии среза проймы показан на рисунке 13.   

Рис.13. Построение линии среза проймы.

Кривые второго порядка широко применяются в построении орнаментов кружева. Вот несколько примеров: на рисунке 14, а) мы видим гипоциклоиду в качестве основного мотива; на рисунке 14, б) листья образуют логарифмическую спираль; на рисунке 14, в) – трехлепестковые розы.

                              а)                                                                б)

в)

Рис. 14. Примеры кривых второго порядка в орнаментах кружева:

а) гипоциклоида; б) логарифмическая спираль; в) роза.

6.    Заключение.

В своей работе я рассмотрела полярную систему координат, построила некоторые кривые второго порядка в этой системе и декартовой прямоугольной системе координат.  Рассмотрела применение кривых второго порядка в профессии «закройщик».

7. Список литературы.

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 1973 г. – 872 с.
2. Полный курс современного рукоделия. - Издательство: Харвест, 2007 г, 336 с.
3. Радченко И.А. Конструирование и моделирование одежды на нетиповые фигуры. Учеб пособие.- издательство «Академия» 2009 г.