Эти непростые простые числа.

Автор: ученик 6 класса МОУ

«Мисцевская основная

общеобразовательная школа №2»

Арутюнов Георгий

Руководитель: учитель математики

Сухачёва Татьяна Ивановна

Эти «непростые» простые числа.

                                        Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?

         Ч. Узерелл «Этюды для программистов».

«Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще не разрешимыми. Может быть, в теории чисел так же как и в квантовой механике, действует своё собственное соотношение неопределённости и в некоторых её разделах имеет смысл говорить лишь о вероятности того или иного результата?"

Мартин Гарднер  "Математические досуги"

План.

1. Введение.
2. Поиск простых чисел.
3. Распределение простых чисел.
4. Числа-близнецы.
5. Узоры простых чисел.
6. Самое большое простое число.
7. Таблица «Менделеева» простых чисел.
8. Литература.

1. Введение.

 В 6 классе на уроках математики  мы познакомились с темой «Простые числа». Я узнал, что числа бывают простые и составные. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Учитель объяснил нам принцип нахождения простых чисел. Представил нашему вниманию таблицу простых чисел до 997, помещенную на форзаце учебника «Математика 6 класс», которой мы затем пользовались в ходе выполнения упражнений и заданий.

Таблица простых чисел до 997.

Из дополнительного материала я узнал, что метод нахождения простых чисел путем вычеркивания называется «Решетом Эратосфена».

Но чем больше я узнавал, тем больше возникало вопросов.

1. Как часто встречаются простые числа в ряду натуральных чисел?
2. Существует ли последнее (самое большое) простое число?
3. Почему в таблице числа записаны разными цветами?

Почитав рекомендуемую учителем дополнительную литературу по этому вопросу, я понял, что не такие уж они и простые эти простые числа.

        Наверное, немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие простые числа. Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда напишет: 2,3,5,7,11,13,17 и т.д. Единица обычно не считается простым числом.

        Возможно ли распознать простые числа, как говориться, с первого взгляда? Если вы зачерпнули в сито сразу много чисел, сверкнёт ли среди них простое, как золотой самородок? Некоторые считают, что да. Например, числа оканчивающиеся на 1 часто оказываются искомыми, такие как 11,31,41. однако при этом следует быть осторожными и не принять фальшивое золото за чистое, как скажем, 21 или 81 оканчиваются на 1, но не являются простыми. По мере роста величины чисел, единица на конце всё чаще вводит в заблуждение. Создаётся даже впечатление будто простые числа в конце концов просто исчезают, как полагали некоторые древние греки.

2. Поиск простых чисел.

Для отыскания простых чисел греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.).

Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.) в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют «Решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая занимательная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел.

        Существуют различные способы поиска простых чисел. Можно даже построить специальное просеивающее устройство, подобное промывным желобам, которые старатели применяют при поиске самородков, но так или иначе их приходится искать, потому что никто не знает, где они встретятся. Есть, правда, кое-какие геологические приметы, по которым можно искать их залежи. Так же как когда-то тысячи золотоискателей бросились в Калифорнию и на Юкон промывать песок в горных речушках в поисках крупинок жёлтого металла, так и наши читатели могут отправиться в страну чисел, но налегке, вооружившись лишь этим маленьким руководством.

3. Распределение простых чисел.

Как часто встречаются простые числа среди натуральных? Насколько быстро они разрежаются по течению реки Континуума?

Из первых 10 чисел 4 являются простыми, таким образом их доля составляет 40%. В первой сотне их содержание падает до 25%, в 1000 – до 17% и оно продолжает падать с ростом величины чисел.

Существует правило, которое позволяет вывести формулу для нахождения количества простых чисел на различных интервалах.

Неудивительно, что это явление постепенного разрежения дает все более длительные интервалы, вовсе не содержащие простых чисел. Например, чтобы найти отрезок длиной в миллион, не содержащий ни одного простого числа, нужно лишь проплыть вниз по течению, как это однажды сделал Мартин Гарднер, до числа 1000001! Однако нетрудно убедиться, что с этого числа начинается интервал, не содержащий ни одного простого числа.

4. Числа-близнецы.

Среди простых чисел встречаются так называемые "близнецы" или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11 и 13). Именно эти пары чисел в таблице учебника выделены другим цветом.

"Близнецы" появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым.

         Еще Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество "близнецов", пока не существует

          Двое ученых утверждали, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно ей, существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми равна двум - так называемых чисел-близнецов. Это утверждение является одним из следствий фундаментальной гипотезы Римана, имеющей непосредственное отношение к современной криптографии.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Все пары простых чисел-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид .

Действительно.  Рассмотрим, например: 59 и 61. 59=6*10-1;   61=6*10+1.

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),

  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

5. Узоры простых чисел.

             Иногда своего рода формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Сидя как-то на скучной лекции, он, ни о чем не думая, начал рисовать решетку из горизонтальных и вертикальных линий. В одной из полученных таким образом клеток он поставил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки:

5 4 3

6 1 2

7 8 9

Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Улам, конечно, сразу понял, что такие линии говорят о закономерности, которую можно облечь в формулу для простых чисел. Компьютерная распечатка, дублирует то, что Улам сделал от руки. На компьютерном графике составные числа представлены маленькими белыми квадратиками, а простые - черными.

Выделяющиеся тёмные линии – это залежи простых чисел. Вблизи центра выстраивания простых чисел вдоль прямых ещё можно было ожидать, поскольку плотность простых чисел вначале велика и все они, кроме числа 2, нечётны. Если клетки шахматной доски перенумеровать по спирали, то все нечётные числа попадут на клетки одного и того же цвета. Взяв 17 пешек (соответствующих 17 простым числам, не превосходящим числа 64) и расставив их наугад на клетки одного цвета, вы обнаружите, что пешки выстроились вдоль диагональных прямых. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те так же будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют «скатертью Улама»), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые. В книге, процитированной в эпиграфе, приводиться рисунок, на котором числа подряд выписаны в форме прямоугольного треугольника и простые числа отмечены кружками. И, что самое интересное, эти кружки тоже расположены по прямым линиям.

Фрагмент спирали Улама - простейшей иллюстрации закономерностей в распределении простых чисел

        Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки.

Рис. 1.

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел — на рис. 2 светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изображённый на рис. 2, получил название «скатерть Улама».

Рис. 2.

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, простые числа выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 и заканчивающейся числом 41

  Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения.

6. Самое большое простое число.

          Существует ли последнее, самое большое по величине простое число? Первое дошедшее до нас доказательство того, что конца простым числам не существует, принадлежит Евклиду: предположим, что мы нашли самое большое простое число. Перемножим все известные простые числа и прибавим к произведению 1. Полученное число будет простым, так как при делении на любое число результат не будет целым, в остатке всегда будет 1. Не правда ли изящно?

НОВИЧОК: Эй, мистер! Как далеко вниз по течению заходят простые числа?

СТАРОЖИЛ: До самого моря Бесконечности, парень.

НОВИЧОК: Я вам не верю. Мы здесь на уровне миллионов, а мне еще ни разу не повезло за целый день.

СТАРОЖИЛ: Эх, молодежь, вам нужно все объяснять! Смотри, допустим, ты дошел до последнего простого числа. После него их уже не существует, так?

НОВИЧОК: Ну, так.

СТАРОЖИЛ: Назовем его п. Составим произведение из всех простых чисел вплоть до п. Это будет 2х3х5х7х...х. Теперь прибавим к произведению 1 и назовем это число p.

НОВИЧОК: И что же, вы хотите сказать, что p - простое число?

СТАРОЖИЛ: Конечно. Простое- проще некуда. Смотри, ты не можешь разделить его на 2, потому что остается 1. Ты не можешь разделить его на 3, потому что остается 1. Каждый раз всегда остается 1, вплоть до п. Ее никак не обойдешь.

НОВИЧОК: Вот оно что! Значит, вы правы, им конца нет.

СТАРОЖИЛ: Так-то вот. Ну ладно, чего стоишь без дела, помоги-ка мне с этим промывным желобом.

Хотя самого большого простого числа не существует вообще, но самое большое из тех, что нам известны, всё же есть. Это различие вносит путаницу в понятие о самом большом простом числе.

 В сообщении может отсутствовать напоминание (или читатель может проглядеть его) о том, что это самое большое из известных простых чисел, и что вскоре, возможно, будет найдено новое, ещё большее простое число.

7. Таблица «Менделеева» простых чисел.

          Побережный Александр Иванович,  «занимаясь проблемой простых чисел, обнаружил, что все простые числа укладываются в табличные формы, своеобразные таблицы Менделеева простых чисел». Как следствие, появляется возможность предсказывать местоположение простых чисел. . Работа таблиц была проверена до  числа, состоящего из 20000 десятичных знаков. Использовалась  для вычислений математическая программа Mathematica. Все  из проверенных простых чисел попадали в таблицы.

            В натуральном ряду простые числа разбросаны очень непредсказуемым образом. С давних времен математики изобретали формулу для простых чисел, но до сих пор  даже не приблизились к решению данной проблемы. Задача даже ставится в более мягкой форме, допускается появление составных чисел в формуле, но чтобы вычислялись все простые числа. Пока неизвестно решение проблемы и в такой облегченной постановке.

В данной работе предпринимается попытка систематизации, некоторого упорядочения множества простых чисел. В основе рассуждений лежит ряд последовательных простых чисел:   1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,… и так до бесконечности.

Обратите внимание, что простые числа в представленной таблице  выстроились в один ряд. Правда есть нюанс: среди простых появляются некоторые составные, в нашем случае число 25.

Аналогично строятся более сложные таблицы простых чисел, которые дают возможность прогнозировать и строить новые простые числа, используя только арифметические действия.

 Не правда ли таблица чем-то похожа на таблицу Менделеева.

Таблица Менделеева. Периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева.

8. Литература.

1. « Математика, 6 класс», Н.Я.  Виленкин и др., Москва, Мнемозина, 2002 г.
2. «Алгебра, 7 класс», Ю.Н. Макарычев и др., Москва, Просвещение, 2007 г.
3. Ч.Узерелл. Этюды для программистов. М. Мир 1982
4. Мартин Гарднер  "Математические досуги" (М.Мир 1972 стр. 410): "
5. Гальперин, «Просто о простых числах», «Квант», № 4, 1987  
6. Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.:ГИФ-МЛ, 1958.
7. http://paii1.narod.ru/ideya/simple1.htm (сайт Побережного А.И.)