Диофант.Линейные диофантовы уравнения.

1  Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.

2  Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

время жизни Диофанта — середина III века н. э. Диофант прожил 84 года

 3  Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

4  Александрия продолжала оставаться научным центром мира

5  Загадочным представляется и само творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику»

6   «Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

В первой книге предложено «общее введение», на котором я остановлюсь более подробно.

7  Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.            

   В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос»).

8  Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток».

9  Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе.

10  Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».

11   В «Арифметике» мы встречаем впервые и буквенную символику. Диофант ввёл следующие обозначения для первых шести степеней x, x2, ... , x6 неизвестного x:

первая степень — ς;

вторая степень — Δυ̃ от Δύναμις — «дюнамис», что означает сила, степень;

третья степень — Κυ̃ от Κύβος — «кубос», т.е. куб;

четвёртая степень — Δυ̃Δ от Δύναμοδύναμις — «дюнамодюнамис», т.е. квадратоквадрат;

пятая степень — ΔΚυ̃ от Δύναμοκύβος — «дюнамокубос», т.е. квадратокуб;

шестая степень — Κυ̃Κ от Κύβοκύβος — «кубокубос», т.е. кубокуб.

Свободный член, или x0, Диофант обозначал символом °        

Μ        

от μονάς — «монас», что значит единица.

Он ввёл специальный знак для отрицательного показателя степени  и, таким образом, получил возможность обозначать первые шесть отрицательных степеней неизвестного. Например,  х-2;  х-3  он обозначал соответственно Δυ̃, Κυ̃.

Итак, у Диофанта была символика для обозначения одного неизвестного и его положительных и отрицательных степеней вплоть до шестой. Обозначения для второго неизвестного он не ввёл, что сильно затрудняло решение задач. Иногда на протяжении одной задачи один и тот же  символ  мог обозначать то одно, то другое неизвестное число. Кроме этих символов, Диофант употреблял знак 

Для равенства Диофант применял знак ΐσ — первые две буквы слова ΐσος — «исос», т.е. равный. Всё это дало ему возможность получить буквенную запись уравнения. Например, уравнение

202x2 + 13 – 10x = 13

он записывает так:         °                °        

Δυ̃        σβ        Μ        ιγ                ς        ι        ΐσ        Μ        ιγ 5).

13  Далее, во «введении» формулируются правила преобразования уравнений: прибавление равных членов к обеим частям уравнения и приведение подобных членов. Оба эти правила получили впоследствии широкую известность под арабизированными названиями «алджебр» и «альмукабала».

Мы видим, что хотя при наименовании и обозначении степеней неизвестного ещё применяются геометрические термины «квадрат», «куб» (что, кстати, сохранилось и до наших дней), однако при составлении уравнений Диофант  трактует их не как геометрические образы, а как числа. Более того, он находит возможным ввести «квадратоквадраты», «квадратокубы» и т.д., разумеется, никак не связывая их с пространствами высшего числа измерений, т.е. он употребляет геометрическую терминологию только благодаря сложившейся традиции.

Таким образом, мы здесь встречаемся с совершенно новым построением алгебры, которая основывается уже не на геометрии, как это было у Евклида, а на арифметике. Однако это не простой возврат к числовой алгебре Вавилона, а начало построения буквенной алгебры, которая наконец-то находит у Диофанта присущий ей язык.

Линейные диофантовы уравнения

ax + by = c, a≠0, b≠0

(x0;y0) – решение уравнения

x0, y0 – целые числа

Задание 1

2x + 3y = 6         (1)

y = 2 -x            (2)

y = 2 - 2x1               (3)

(3х1;2-2x1)- решение уравнения

х1 - любое целое число

При x1=0, x=3x1, y=2-2x1=2

(0;2) – решение уравнения

При x1=1 х = 3х1=3 ,у = 2 -2х1=0

(3;0) – решение уравнения

Задание 2

У покупателя и продавца имеются монеты только по 2р. и 5р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1р.?

Решение.

Если покупатель даст х монет по 2р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1р. Следовательно,

2х + 5у = 1        (4)

х = -2у + ()      (5)

у = 2n + 1,    n - целое число

 х = -5n – 2

(-5n –2;2n + 1)–решение уравнения

(-2;1) – решение уравнения

(3;-1) – решение уравнения

Задание 3

(Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи)

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение.

Пусть купили х воробьёв, у горлиц, тогда голубей купили (30 – х – у).

х + у + 2(30 - х – у)= 30

2х + 3у + 12(30 – х – у) = 180,

10х + 9у = 180

у = 10у1

х + 9у1 = 18

х = 9х1

х1 + у1 = 2

х1 = 1, у1 = 1

х = 9х1,  у = 10у1

х = 9; у = 10; 30 – 10 – 9 = 11

Ответ: 9 воробьев, 10 горлиц, 11 голубей.

Задание 4

(Задача Л. Эйлера)

Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?

Решение.

Пусть чиновник купил х лошадей и у быков.

31х + 21у = 1770.

3: х = 3х1, х1 – натуральное число

31х1 + 7у = 590,

х1 = 

х1 =  =

= 19 –

х1 = 17, х = 51

(51;9)- решение уравнения

х1= 19 -  = 19 –  = = 17 – 

х1 – целое число

При у = 9 + 31=40, х1 = 10, х =30

При у = 40 + 31 = 71, х1 = 3, х = 9

(51;9), (30;40), (9;71)

Ответ: чиновник купил лошадей и быков 51 и 9, или 30 и 40, или