Несколько решений одного неравенства с параметром

«Несколько решений одного неравенства с параметром»

Автор:

Третьяков Александр

ученик 9А  класса МБОУ многопрофильного лицея №20 города Ульяновска.

Научный руководитель:

Мухина Галина Геннадьевна

учитель математики МБОУ многопрофильного лицея №20 города Ульяновска.

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Часто эти задачи являются исследовательскими, то есть при их решении надо не просто применять те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие либо для переменной, либо для параметра. Глядя на задачу, иногда даже не представляешь, с чего можно начать ее решать.

Единого рецепта решения задач с параметром не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это возможно далеко не всегда.

Если говорить о неравенствах с параметрами, то существуют различные способы решения одного и того же неравенства. Важно овладеть этими способами и приобрести достаточно хороший навык  их применения.

Я учусь в 9 физико-математическом классе, где на уроках мы изучаем и применяем разные способы решения неравенств и уравнений с параметрами.

Заинтересовавшись этим, я прочитал много дополнительной литературы, прорешал самостоятельно достаточное количество задач с параметрами.

При решении таких задач, в первую очередь меня всегда интересуют способы их решения, и чем больше я их нахожу, тем интереснее  решать задачу.

А зачем мне нужно знать разные способы решения? На это можно ответить следующее:

1. для того чтобы найти наиболее рациональное решение;
2. поиск рационального решения – это увлекательное занятие и неплохая «зарядка для ума».

Мой проект «Несколько решений одного неравенства с параметром» представляет собой исследовательскую работу. 

Цель работы:

1. изучить различные способы решения задач с параметрами;
2. показать многообразие подходов при решении одной задачи.

Задачи:

1. изучение литературы о методах решения задач с параметрами;
2. решение задачи;
3. анализ и выбор более рациональных способов решения.

Объект изучения:   задачи с параметрами.

Предмет исследования:  способы решения задач с параметрами.

        Методы исследования:  

1. теоретический: изучение   литературных источников, анализ, синтез.
2. практический:  решение задач с параметрами.

Рассмотрим решение неравенства с параметром из задачника  алгебры 9 класса автора А.Г. Мордковича  (профильный уровень).

Решение:

1 способ.

Решаем неравенство аналитически методом интервалов.

Замечаем, что х  должен быть меньше любого значения данной функции.

.

Замечаем, что х  должен быть больше любого значения функции 

но меньше любого значения функции 

2 способ.

        Решаем неравенство аналитически относительно параметра b, применяя метод интервалов. Запишем неравенство в таком виде:

Из 1), 2) и 3) имеем:

3 способ.

Решим неравенство, применяя метод о расположении корней квадратного трехчлена относительно чисел 0 и 1. Коэффициент при  равен 1. Построим схематично параболу  и изобразим решение данного неравенства.

Из 1) и 2) имеем:                              

4 способ.  (презентация)

Решим неравенство методом областей

Слайд 1.  Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее неравенству

1). В системе Obx строим графики уравнений  

2). Определим знаки выражений:

 внутри и вне параболы;    выше и ниже прямой.

3). Заштриховываем часть координатной плоскости, ограниченной параболой и прямой, где знаки выражений совпадают, так как дробь больше нуля, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Слайд 2.  Изобразим интервал  на оси Ob, проведем прямую  

Перемещаем этот интервал, заключенный между параллельными прямыми  вправо и влево до тех пор, пока он лежит в заштрихованной области.

Определим, при каких х интервал  принадлежит заштрихованной области.

По графику видно, что

Из рассмотренных мною методов решения данного неравенства самым рациональным является последний – метод областей. Он более наглядный, дает краткое и красивое решение.

Я считаю, что мой проект ««Несколько решений одного неравенства с параметром»» имеет практическое значение. Он будет интересен  как учащимся, так и учителям.

Может быть использован как учебное пособие, при изучении различных способов решения неравенств с параметрами.

Список литературы:

1. М.А. Ступницкая. Что такое учебный проект? – М.:  «Первое сентября», 2012.
2. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: ООО «Илекса», 1999.
3. А.Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами на экзаменах. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2009.
4. С.И. Колесникова. Задачи с параметром. ЕГЭ. Математика. – М.: ООО «Азбука – 2000», 2012.
5. А.И. Козко, В.Г. Чирский. Задачи с параметрами. – М.: Издательство МЦНМО 2008.