Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса

 (реферативная работа)

Выполнила ученица  7А класса

МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула

Точилкина Юлия

Руководитель

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула

г. Барнаул 2012

Введение

         Почему я выбрала  тему своей исследовательской работы «Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса»?  Я ученица 7 класса. В этом учебном году мы изучаем предмет алгебра по учебнику А. Г. Мордковича.  При выполнении некоторых упражнений в классе и при решении контрольных работ я обратила внимание, что наряду с переменными х и у в уравнениях  и задачах встречаются еще неизвестные величины, обозначаемые буквами а, в, с.  Эти упражнения  и задачи  оказались сложными для меня и я решила более подробно познакомиться с упражнениями в которых находятся параметры.

Цель работы: выяснить какие задачи с параметрами представлены в  учебнике Алгебры 7 класса и научиться решать линейные уравнения с параметрами.

Задачи:

 -изучить упражнения учебника, и выяснить, какие задачи с параметрами представлены в нем;

-познакомиться с понятием параметра;

-изучить метод решения  линейных уравнений  с параметрами;

- составить упражнения по данной теме.

 Для выполнения  поставленной цели мною были использованы следующие методы: 

-изучение  и анализ  упражнений из учебника Алгебра 7 класс;

-изучение литературы по решению линейных уравнений с  параметрами;

-составление сборника упражнений по данной теме;

 Объект исследования: учебник  Алгебра 7 класса (автор А.Г. Мордкович).

Предмет исследования: задачи с параметрами.

Глава 1.

1. Основные определения.

Параметр (от греч. рarametron –отмеривающий, соразмеряющий), величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

В уравнениях коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.

Решить уравнение с параметрами означает:

1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Существуют  различные формы условий задач с параметрами - исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.        

2. Задания с параметром, школьного курса алгебры 7 класса

В седьмом классе мы изучаем предмет алгебра по учебнику А.Г.Мордковича. В данном учебнике всего 1610 упражнений. Из них около 30 с параметрами. Таким образом, задачи с параметрами составляют примерно 1,8% от общего количества упражнений по алгебре в 7 классе.   Конечно же, при таком соотношении упражнений  сложно научиться решать задачи с параметрами. Ниже я привожу упражнения с параметрами из нашего учебника алгебры.

Стр. 32.  Домашняя  контрольная работа 1 .Задача  8.

Стр. 43.  §7 Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Стр.51 . §8 Линейная функция и ее график

Стр. 60.   §10 Взаимное расположение графиков линейных функций

Стр. 73.   §13 Метод алгебраического сложения 18.

Стр. 80.  Домашняя  контрольная работа 1 .Задача  5.

Стр. 144   §32  Способы группировки

Стр.181.   §39  Что означает в математике запись y = f(x).

Глава 2.

Линейные уравнения с параметрами

Линейным уравнением называется уравнение вида ах=в, где а,в- некоторые  действительные числа, х- переменная.

 Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

 Решим данное уравнение в общем виде.

При а=0, в≠0 уравнение не имеет корней, так как нет такого числа которое при умножении на нуль,  даст результата отличный от нуля.

         При а=0, в=0 уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительное число.

 При а≠ 0 уравнение имеет единственный корень, равный х=в/а.

 Таким образом, мы получили следующую схему для решения линейных уравнений с параметром.

 По данной блок-схеме можно составить алгоритм решения линейного уравнения с параметрами

Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:

1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид ах=в.
2. Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (а = 0, а ≠ 0).
3. Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).
4. Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Решить уравнение a x=0.

Ответ: если a =0,  x - любое число;

если a 0, x=0.

2.Решить уравнение a x-7=0.

Запишем уравнение в стандартном виде     a x=7.

Ответ: если a =0, корней нет;

если a 0, x=7/ a.

3. Решить уравнение (a -3)*x-6=0.

Запишем уравнение в стандартном виде     (a -3)*x=6

Ответ: если a =3, корней нет;

             если a 3, x=6/ (a -3).

3. Решить уравнение (a -5)*x=7.

Ответ: если a =5, корней нет;

              если a 5, x=7/ (a -5).

4. Решить уравнение mx=m.

Ответ: если m=0, x - любое число;

           если m0, x=1

6. Решить уравнение (m-5)*x=6.

Ответ: если m=5, корней нет;

            если m5, x=6/m-5

7. Решить уравнение a x+8= a.

   Запишем уравнение в стандартном виде a x= -8+ a.

Ответ: если a =0, корней нет;

            если a 0, x= a-8/ a

8.  При каком значении  параметра a,  х=2,5 является корнем уравнения х+2= a+7?

Так как х=2,5 корень уравнения  х+2= a+7, то при подстановке х=2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5 +2= a+7, откуда находим  a= -2,5.

Ответ:  при a=-2,5.

 9.Решить уравнение тх+3=4т-2х.

тх+2х=4 т-3,

х(т+2)=4 т-3,

1. Если т+2=0,

         т=-2, то уравнение  примет следующий вид

0х=4 (-2)-3,

 0х=-11. Это уравнение не имеет корней.

2. Если т+20,

                        т-2,  то х = (4т-3)/ (т+2).

Ответ:  при т=-2, корней нет;

             при т-2,  х= (4т-3)/ (т+2).

10. Пример 2. Решить уравнение (a2 – 1)x = a + 1.

Решение: При решении этого уравнения рассмотрим  такие случаи:

1. a2 - 1 = 0, т.е. a = 1  и a = -1.

Если a = 1, то уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений;

Если a = -1, то получаем 0x = 0,  следовательно x – любое число.

2. Если a ≠ ±1, имеем x = .

Ответ:если a = -1, то x – любое число; если a = 1, то нет решений;

              если a ≠ ±1, то  x = .

Пример 11. Решить уравнение аx = x + 3.

Решение:

 Приведем уравнение к виду аx = в:

 аx – x = 3,

(а – 1) x = 3.

1. Если a = 1, то уравнение примет вид 0x = 3 и корней нет;
2. Если a ≠ 1, то x = .

Ответ: если a = 1, то уравнение  корней не имеет;

если a ≠ 1, то x = .

Ответ: b=-12

Пример 12. Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной  х.

Решение:

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде:  х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое число.

Ответ: при  а ≠ -2    х = 1;

при а = -2  х- любое число.

Пример 13.     Решить уравнение  

Решение:

1. Если    

             то уравнение  имеет единственное решение  

2. Если  то уравнение принимает вид:  

                                                                                    (верно)

   Значит  наше  уравнение  имеет бесконечное множество решений.

       3)  Если  то уравнение  принимает вид:  ,  (не верно)                                                                        

Значит   первоначальное уравнение не имеет корней.

Ответ:  при     одно решение  

          при   нет решений

         при     х-любое число.

Глава 3.

Линейные уравнения с параметрами. Сборник задач.

В  параграфе 4 «Линейные уравнения с одной переменной» учебника алгебры для 7 класса , автор А.Г.Мордкович, нет  упражнений  в которых были бы  линейные уравнения с параметрами. Поэтому я решила подобрать и составить  несколько заданий по данной теме.

Решите  уравнения. 

1. 2х=т+4;
2. ах=5;
3. 2х-3(х-а)=3+а;
4. 4х-6(х-а)=6-а;
5. 2ах-5(2+х);
6. (5-ах)/3=(7-ах)/5;
7. (2m−1)x = 1;
8. 12= a(x − 2) ;                                    
9. (3n + 1)x = 1;
10. ax = a – 6;
11. ax − 4 = a;
12. ах-а=х-1;
13. тх+3=4т-2х.

14. При каком значении параметра  a,    х=5   является корнем уравнения х+2=а+7?
15. Придумайте  уравнение с параметром т, которое имеет бесконечно много решений.
16. Найдите значения а, при котором число 2 является корнем уравнения

х(а-2)+а(7-х)=3.

Заключение.

 При работе над темой я пришла к выводу, что задачи с параметрами - это хорошее упражнение для развития логического мышления, умения анализировать, сравнить, обобщать, также, что каждое из заданий представляет небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, как бы поднимаешься на ступеньку выше в понимании методов решения математических задач.

Я поняла, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы мне и тем ученикам, которые желают хорошо подготовиться и успешно сдать выпускные экзамены ГИА и ЕГЭ.

Думаю, что моя работа будет интересна тем ребятам, которые хотят научиться решать сложные задачи и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам.  Также она будет интересна и учителям математики, так как в своей работе я провела анализ заданий из учебника Алгебры 7 класса и выписала все  упражнения в  которых содержатся  параметры.

 В следующем учебном году я решила продолжить изучать эту тему. Следующим объектом моего исследования будут квадратные уравнения с параметрами.

Литература

1. Мордкович, А. Г. Алгебра .7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2009.-260с.
2. Мордкович, А.Г. Алгебра .7 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2009.-270с.
3.  Ястребинецкий, Г. А. Задачи с параметрами/ Г.А. Ястрибенецкий – М. : Просвещение 2005.-186с..
4.  Горнштейн, П. И. «Задачи с параметрами». /П.И. Горнштейн,  В. Б. Полонский, М.С. Якир-М. Просвещение 2001.-234с.