Метод декомпозиции при решении логарифмических неравенств
В работе рассматривается преимущество решения логарифмических неравенств методом декомпозиции.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 metod_dekompozicii.zip | 1.63 МБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №6 имени С.Ф.Вензелева»
Городская научно-практическая конференция обучающихся
«Первые шаги в науку»
Математика
«Решение логарифмических неравенств методом декомпозиции»
Автор: Таганова Анастасия
Андреевна Класс: 11
ОУ: МБОУ «Гимназия №6 им.С.Ф. Вензелева»
Руководитель: Майсурадзе Виктория Владимировна,
Учитель математики
МЕЖДУРЕЧЕНСК-2013
Содержание
Вступление…………………………………………………………………………………………...…2
Введение……………………………………………………………………………………..………….2
Метод декомпозиции…………………………………………………………….…………………….4
Сравнительная характеристика метода интервалов и декомпозиции……………………….…….14
Заключение……………………………………………………………………………………………15
Список литературы………………………………………………………………………….………..16
Приложение…………………………………………………………………………………………...17
Вступление
Как известно, ЕГЭ по Математике длится 235 минут, и чтобы распределить это время рационально на все задания, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на С3, оцениваемое в 3 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания). Если проводить решение согласно всем известному методу интервалов, то, возможно, вы потратите все отведенное на него время. Именно поэтому, с целью экономии времени, я решила узнать, существует ли такой метод решения неравенств, при котором мы сможем упростить наши вычисления, тем самым сохранив время.
В одном из пособий Корянова А.Г я познакомилась с методом декомпозиции, который позволяет решать как показательные, так и логарифмические неравенства. Возник вопрос: « Удобен ли данный метод при решении неравенств, а главное - можно ли сэкономить время на экзамене, применяя его?»
Цель исследования
Изучение теоретического обоснования метода декомпозиции и его применение при решении логарифмических неравенств
Задачи исследования
- Изучить и доказать теоремы, позволяющие заменять сложные выражения на более простые
- Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических неравенств
- Сравнить метод интервалов и декомпозиции
- На основе полученных результатов сделать выводы
- Создать банк заданий по подготовке к ЕГЭ (С3,С5) на школьном сайте
Гипотеза
При решении логарифмических неравенств целесообразнее использовать метод декомпозиции
Объект исследования
Логарифмические неравенства
Предмет исследования
Метод декомпозиции
Актуальность
При решении логарифмических и показательных неравенств методом интервалов вычисление значений функций в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера, поэтому метод декомпозиции, на мой взгляд, является наиболее удобным.
Также данный метод позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С3 ЕГЭ по математике
Метод декомпозиции
Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).
Существует несколько выражений F и соответствующие им декомпозиционные G, где k, g, h, p, q – выражения с переменной х ( h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фиксированное число ( а>0, a≠1).
№ | Выражение F | Выражение G |
1 1а 1б | (a-1)(f-k) (a-1)(f-a) (a-1)(f-1) | |
2 2а 2б | (h-1)(f-k) (h-1)(f-h) (h-1)(f-1) | |
3 | (k≠1, f≠1) | (f-1)(k-1)(h-1)(k-f) |
4 4а | (h-1)(f-k) (h-1)f | |
5 | (f>0; k>0) | (f-k)h |
6 | |f| - |k| | (f-k)(f+k) |
Из данных выражений можно вывести некоторые следствия ( с учетом области определения):
0
0
В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >, <, ≤, ≥
Доказательства полученных выражений
- Пусть
, т.е.
, причем a>0; a≠1; f>0; k>0 (*)
Если 0<a<1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f<k. Значит, выполняется система неравенств
откуда следует неравенство (, верное на области определения выражения
.
Если a>1, то f>k. Следовательно, имеет место неравенство .
Обратно, если выполняется неравенство на области (*), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств
и
Из каждой системы следует неравенство
>0.
Аналогично рассматриваются неравенства вида F<0, F≥0, F≤0.
- Пусть
Заменим
Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции- f<a. Значит выполняется система неравенств
Откуда следует неравенство
Если а>1, то f>. Следовательно,
.
Б) Пусть
Заменим данное неравенство на .
Если 0<а<1, то a-1<0, f-1<0. Отсюда следует неравенство
Если а>1, то a-1>0, f-1>0, откуда следует то же неравенство.
- Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда
=
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
А) Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда
=
или
Б) =
или
- Так как
,
То, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
- Из неравенства
следует
. Пусть число а>1, тогда
. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем
Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.
. Пусть некоторое число а>1, тогда
. Откуда следует, что
Применив замену 1б, получаем ,
- Дано неравенство
Пусть а>1, тогда
Используя замену 1, получаем
Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.
- Так как неравенство
, то
Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами
1. Метод интервалов
О.Д.З.
-11/6
-5/3
////////////////////////////
x
a) b)
-5/3
-11/6
////////////////
x
//////////////////
x
-1
x
///////
x
//////////////////////
-1
-5/3
Нет решений
//////////////////////////////////////////////////////////////////
x
/////////////////////
-1
x
Ответ: ( ;
2. Метод декомпозиции
//////////////////////////////////////////////////////////////////
x
//////////////////////////////////////////////////////////////////
-1
x
Ответ: ( ;
На примере решения данного неравенства мы убедились, что целесообразнее использовать метод декомпозиции.
Рассмотрим применение этого метода на нескольких неравенствах
///////////////////////////////////////////////////////////////
х
0
-1
-1,5
/////////////////////////////////////////////////////////////////////
х
3
-1
Ответ: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0;3)
[0; 4]
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
х
-1/3
-1
///////////////////////////////////////////////////////////////
х
4
0
Ответ: [0; 4]
-2
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
х
5/6
1/2
1/3
0
///////////////////////////////////////////////////////////////
х
5/6
0
Ответ:
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
3
1
х
///////////////////////////////////////////////////////////////
5
-1
х
Ответ: (-1;1) U (3;5)
U(-1;0) U(2;+
)
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
3
2
1
1
0
0
-1
-1
-3
-4
х
х
Ответ: (-4;-3) U (-3;-1) U [3;+)
Сравнительная характеристика метода интервалов и декомпозиции
Метод интервалов | Метод декомпозиции | |
Логарифмические неравенства, имеющие в основании выражения с переменной х | Возможны ошибки вычислительного характера при оценке основания, а также при нахождении общих областей для х | + |
Логарифмические неравенства с числовым основанием | + | + |
Логарифмические неравенства, имеющее выражение с переменной х и в основании, и в показателе |
Громоздкие вычисления, а также сложности могут возникнуть в нахождении общих решений х | + |
Логарифмические неравенства, с одной из сторон которых стоит 1 | + | + |
Заключение
В ходе данного исследования, я изучила такой способ решения логарифмических неравенств, как метод декомпозиции. На основе полученных результатов я сделала вывод, что выбор метода зависит от его вида. Как метод декомпозиции, так и метод интервалов имеют свои плюсы и минусы. Но мы убедились в том, что на решение неравенства новым методом затрачивается меньше времени, а это означает, что наши предположения оказались верны, и данный метод, действительно, позволит нам сэкономить время на экзамене.
Также, с целью ознакомления 11-х классов с новым методом, я создала раздел по подготовке к ЕГЭ на школьном сайте. В нем представлен ряд заданий С3 и С5, где каждое из них разобрано на основе метода декомпозиции.
Список литературы
1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.
2. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972.
3. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.
И тут появился изобретатель
Девочка-Снегурочка
Извержение вулкана
Подарок
Самый богатый воробей на свете