Мозаика, паркеты

Слайд 1

Слайд 2

Паркет (или мозаика) - бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники.

Слайд 3

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/ n . В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/ n . Преобразуем отношение этих чисел: Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Слайд 4

Паркеты из разных правильных многоугольников

Слайд 5

Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами.

Слайд 6

Паркеты из неправильных многоугольников Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого

Слайд 7

Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Слайд 8

Паркеты из неправильных многоугольников Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.

Слайд 9

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае - многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим способы построения нового паркета, исходя из этого "расширенного" определения. Паркеты из произвольных фигур

Слайд 10

Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков... Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Слайд 11

Способ второй . Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки.

Слайд 12

Способ третий . Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Пример (разбиения сетки из греческих крестов)

Слайд 13

Способ четвертый . Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1. Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

Слайд 14

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников. Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На первом рисунке есть еще один элемент - выпуклый четырехугольник.