Системы счисления

Всероссийская интернет-выставка достижений учащихся

Раздел - учебные проекты

математика

    Системы счисления

Авторы: Семакина Маргарита Сергеевна

                                                                                           Исаева Аида Мукаиловна            

                                                                                ученицы 5Г класса

            МБОУ «Средняя

            общеобразовательная школа  

            № 6» г. Когалым  ХМАО-Югра

                                                                                  Руководитель: Плашевская Светлана  

                                                                                                            Григорьевна    

учитель математики

МБОУ «Средняя    общеобразовательная школа № 6» г. Когалым

 ХМАО-Югра

г. Когалым, 2013

Оглавление

1

Введение

            На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Нам стало очень интересно,  и мы решили изучить эту тему.

  Данная тема нам интересна еще и потому, что в настоящее время  двоичная система счисления  приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16  применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

           Мы поставили перед собой цель: познакомиться с  историей возникновения счета и систем счисления, изучить перевод чисел из одной системы в другую и арифметические действия в различных системах счисления.

1. Из истории

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, третий – сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных  славян.

Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы  использования  при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».

 Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12 (приложение 1).  Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят  из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже  используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

2

   Все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию  различных систем счисления.

2. Система счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью цифр.

Цель создания системы счисления - выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Системы счисления, которые использовали ранее, и которые используются в настоящее время можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.

2.1. Непозиционные системы счисления.

 В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления  –  римская система счисления (приложение 2).  Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах  часов.

В современной жизни наиболее яркий вариант использования  непозиционной  системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

2.2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и  1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.

3

Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия.  

3. Практическая часть.

Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления – «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе. Считать мы будем в каждой системе своей меркой. Например в  троичной системе мерка 3, в пятеричной мерка 5, в восьмеричной мерка 8.

3.3. Перевод чисел из одной системы в другую

Как перевести число, записанное в одной системе, например в четверичной, в десятичную?

Любое число можно разложить по разрядам и каждый разряд измеряется  своей меркой. В десятичной системе у единиц мерка 1, у десятков 10, у сотен 100. Следовательно,   в четверичной системе счисления, у единиц мерка 1, у десятков – 4, у сотен – 16, у тысяч – 64,

у восьмеричной системы мерками будут 1; 8; 64 и так далее.

Пример 1                                                                            Пример 2

Перевести 1378 в десятичную систему.                          Перевести 3124  в десятичную систему.

Решение:                                                                             Решение:

1378 = 1 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 95.                                        3124 = 3 ∙ 16 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 54.

Пример 3

Перевести 1011012 в десятичную систему.

1011012 = 1∙ 32 + 1 ∙8 + 1 ∙ 4 + 1 = 45.

Пример 4

Перевести число 860 в восьмеричную систему счисления.

В данном примере мы воспользуемся меркой 8. Но если при переводе в десятичную систему мы умножали каждый разряд, то теперь будем делить число на мерку. Если частное больше мерки, то мы частное опять делим на мерку и так  делим,  пока частное не

5

станет меньше мерки. Остатки от деления как раз и есть разряды в данной системе счисления. Первый остаток – это разряд единиц, второй остаток – это разряд десятков и так далее.

Решение:

860.  8                                            860 = 15348

8.  107   8

  60     8     13  8

  56     27     8  1

    4     24     5

             3

Пример 5                                                         Пример 6.

425 = 1156                                                         382 = 30125

Решение:                                                          Решение:

425.  6                                                                 382   5

42.  7   6                                                            35     76   5

    5   6   1                                                             32    5     15   5

         1                                                                  30    26   15   3

                                                                               2    25     0

                                                                                       1

При переводе чисел из троичной системы счисления в семеричную, мы сразу переводили из троичной в десятичную, а потом в семеричную. Этот способ занимает больше времени. Мы предположили, а что если при переводе из одной системы в другую сразу считать мерками той системы,  в которую  переводим. Проверили на нескольких примерах, и оказалось, что наше предположение верно. Тогда мы записали правило перевода.

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, нужно каждый разряд считать той меркой, в которую переводим данное число.

Пример 7.

Перевести  1425 в семеричную систему.

1425 = (3 ∙ 7 + 4 ) + (2 ∙ 7 + 6) + 2 = 30 + 20 + 15 = 657;

Число 15 считаем следующим образом: 4 + 6 + 2 =12 = 157.

Проверка:  1425 = 1∙ 25 + 4 ∙ 5 + 2 = 47;   47 : 7 = 657

Пример 8.

Перевести 3234 в шестеричную систему.

3234 = (8 ∙ 6 + 0) + (1 ∙ 6 +2) + 3 = 120 + 10 + 5 = 1356;

6

Проверка: 3234 = 3 ∙ 16 + 2 ∙ 4 + 3 = 59;   59 = 1356

59. 6

54   9   6

 5    6   1

       3

Пример 9.

Перевести 689 в пятеричную систему.

689 = (10 ∙ 5 + 4) + (1∙ 5 + 3) = 200 + 10 + 12 = 2225

Проверка: 689 = 6 ∙ 9 + 8 = 62;   62 : 5 = 2225

62. 5

5     12   5

      12   10   2

      10     2

        2  

Заключение

      При выполнении данной работы мы самостоятельно изучили математические операции сложения, вычитания, умножения и деления в различных системах счисления. Составили таблицы, которые помогают гораздо быстрее умножать и делить числа.

      Познакомившись с системами счисления, мы узнали очень много нового и полезного, и считаем, что эта наука необходима для развития общества. Сложно представить мир без вычислительной техники. Ведь именно двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах и компьютерах.

Числа правят миром.

Пифагор

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Шибалов Л.П,  Шибалова З.Г.  За  страницами  учебника  математики. М. Просвещение.  АО  Учебная  литература  1996г.
2. Выгодский Н.Я. Справочник  по  элементарной  математике. М.Наука  1972г.
3. Математика и программирование.  «Универсальная энциклопедия школьников». Минск ТОО «ХАРВЕСТ», 1996г.
4. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П.,             М.Педагогика 1989г.

7

Приложение 1

8

Приложение 2

Примеры римских чисел.

9

Приложение 3

Таблица умножения в четверичной системе счисления.

10

Приложение 4

Таблица умножения в пятеричной системе счисления.

11

Приложение  5

Таблица умножения в шестеричной системе счисления.

12

Приложение 6

Таблица умножения в семеричной системе счисления.

13

Приложение 7

Таблица умножения в восьмеричной системе счисления.

14

Приложение 8

Таблица умножения в девятеричной системе счисления.

15