Три знаменитые задачи древности.

    Муниципальное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья «Специальная (коррекционная) общеобразовательная школа №36 III-IV вида»

КУРЧАТОВСКИЕ         ЧТЕНИЯ.

СЕКЦИЯ : МАТЕМАТИКА

«Три знаменитые задачи древности»

АВТОР: ЕРАСТОВ  СЕМЕН ,8а КЛ., МСК(к)ОУ «С(К)ОШ № 36» 

НАУЧНЫЙ руководитель:
ЖДАНОВИЧ ЕЛЕНА ИВАНОВНА,

Учитель I категории

МС(к)ОУ «С(к)ОШ №36»

г. ОЗЕРСК

Содержание:

1. Введение.
2. Цели и задачи проекта.
3. Задача о квадратуре круга.
4. Задача о трисекции угла.
5. Делосская задача об удвоении куба.
6. Заключение.
7. Литература.

1.Введение.

Бывает так, что задача решается, что называется  «сходу». Бывает приходиться попотеть, подумать над ней. Иногда на обдумывание решения уходят не минуты и часы, а даже дни. Но существуют такие задачи, на решение которых ушли не то что дни, даже не годы-века. И то, решения, на поиск которых затратились столетия, возможны даже не при тех условиях ,которые были даны изначально, то есть такие задачи, которые неразрешимы.  

Эти неразрешимые задачи возникли в глубокой древности .Сейчас они носят название « знаменитые задачи древности на построение».

Первые задачи на построение возникли из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и земледельцам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией .К  задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости.

Решения простейших геометрических задач на построение, которые помогали людям в их хозяйственной жизни, формулировались в виде « практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи  и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции ,где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

Первым греческим ученым ,который занимался решением геометрических задач на построение, был Фалес Милетский(624-547 годы до н.э.).Это он, пользуясь построением треугольников ,определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения-от берега до корабля в море .Это он вычислил высоту  египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Большую роль в развитии задач на построение сыграл Пифагор(около 580-500 годов до н.э.).По свидетельству греческого историка математики Прокла(412-485 годы),Пифагор впервые разработал принцип геометрии и теоремы невещественным разумным путем .С именем Пифагора связана теорема, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов .По-видимому, эту  теорему сам Пифагор (или его ученики) доказывал при помощи геометрических построений, опираясь на понятие равновеликости равносоставленных фигур.

Особенно большое внимание задачам на построение уделял Платон(427-347 годы до н.э.), основатель»Академии» в Афинах, где преподавал философию более 20 лет. Недаром, как говорит предание, при входе в свою академию, которая размещалась в роскошном городском саду, Платон сделал надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии.»

Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, то есть путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Эти задачи следующие:

1.Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат ,площадь которого равнялась бы данному кругу.

1. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

2. Задача об удвоении куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Эти три задачи и носят название «знаменитых геометрических задач древности.»

2.  Цели и задачи.

Данную тему моей работы я считаю актуальной, потому что очень полезно изучать историю возникновения, методы решений данных задач древними учеными, так как большинство методов и способов решений различных задач сохранились и до наших дней  и используются в современной математике.

Я хотел больше узнать об истории возникновения задач, способах решения этих задач древними учеными.

Целью моей работы будет углубление в историю математики, изучение истории  возникновения классических задач древности и некоторые способы их решения.

Перед собой я поставил следующие задачи:

1.Изучить литературу и источники по данной теме.

2.Обработать полученную информацию.

3.Сделать вывод и продолжить в дальнейшем изучение данной темы.

3.Задача о квадратуре круга.

Задача о квадратуре круга-самая старая из всех математических задач.Она возникла на заре человеческой культуры и ее история охватывает период около четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняне и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы.

Задача о квадратуре круга вместе с тем является самой популярной из всех математических задач.

Особенно большое распространение эта задача получила в древней Греции. Первый из греческих математиков, кто по-серьезному занимался квадратурой круга, был Анаксагор(500-428 годы до н.э.) Будучи посажен в тюрьму за безбожие, он предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений, отгонявших печаль и тоску о свободе, он и «начертал квадратуру круга». Каким путем пытался он решить задачу о квадратуре круга, это ,к сожалению, до нас не дошло.

Квадратурой круга много занимался другой греческий ученый  Гиппий из Элиды(около 5 века до н.э.) В 420 году до н.э. Он открыл трансцедентную кривую-квадратрису, которая служила для решения задач о трисекции угла и квадратуре круга. Первый из древнегреческих ученых, кто применил квадратрису Гиппия для решения задачи о квадратуре круга, был Диностат, живший во второй половине 4 века до н.э. Большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа(469-399 годы до н.э.) Антифон и Бризон,а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине 5 века до н.э. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре  круга, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в 3 веке до н.э. Его трактат «Измерение круга» является образцом строгой научной постановки вопроса и его приближенного решения.

Древнегреческие ученые стремились задачу о квадратуре круга решить при помощи циркуля и линейки. Показательна в этом отношении работа Гиппократа Хиоского, которому удалось криволинейную фигуру( гиппократовы луночки ) преобразовать в равновеликий ей многоугольник. Однако преобразовать круг в равновеликий ему квадрат Гиппократу так и не удалось. Остановимся несколько подробнее на его рассуждениях.

                                           На отрезке АВ, как на диаметре, построим полукруг АСВ. Далее, из точки О- середины отрезка АВ-восстановим перпендикуляр ОС. Соединим прямыми точку С с точками А и В. Отрезок СВ будет стороной квадрата, вписанного в круг, и площадь треугольника АСВ будет равняться половине этого квадрата. НА отрезке СВ, как  на диаметре, опишем еще полукруг СВЕ. Применяя к прямоугольному треугольнику АСВ теорему Пифагора, получим:

          АВ2 = АС2+СВ2=2СВ2    (1)

На основании того, что площади кругов относятся между собой, как квадраты их диаметров, будем иметь :

пл. круга АСВ: пл. круга СВЕ= =АВ2: СB 2 (2) или, учитывая(1),                                                                                                                                  

пл. круга АСВ: пл. круга СЕВ=2:1 (3)

     Откуда    

                   пл. круга АСВ= 2 пл. круга СЕВ (4)

       Тогда  

                   пл. полукруга АСВ= 2 пл. полукруга СЕВ(5)

Следовательно,

                   пл. сек тора ОСВ= пл. полукруга СЕВ. (6)

Вычитая из левой правой частей равенства (6) сегмент СДВ , получим , что площадь треугольника ОСВ равняется площади луночки СДВЕ . Наконец, при помощи циркуля и линейки теперь не составляет большого труда построить квадрат ,площадь которого будет равна площади треугольника ОСВ , а следовательно , и площади луночки СДВЕ . Так Гиппократ Хиосский весьма оригинальным приемом нашел квадратуру некоторой , специального вида , луночки .

Это открытие Гиппократа окрылило древних геометров надеждой , что с помощью циркуля и линейки когда-нибудь удастся вычислить и квадратуру круга : « Раз можно найти квадратуру некоторой луночки , образованной дугами кругов , то почему же , - рассуждали они ,- нельзя найти квадратуру круга .»

Сам Гиппократ , найдя квадратуру указанной выше луночки , пытался найти квадратуру круга .

Однако в рассуждениях Гиппократа Хиосского допущена одна ошибка, которая « из невозможного делает возможным ,- неразрешимую задачу о квадратуре круга разрешимой . Ошибка в рассуждениях Гиппократа , приводящая к иллюзорному решению  задачи о квадратуре круга , была замечена еще древними учеными . Об этой ошибке говорят древнегреческий историк математики Евдем Родосский и знаменитый основоположник формальной логики Аристотель . Так , Евдем Родосский заявляет , что хотя рассуждения Гиппократа и является остроумным , тем не менее оно является ошибочным . Дело в том , говорит Евдем, что три луночки , которые рассматривал Гиппократ при решении квадратуры круга ,построены не на катетах прямоугольного треугольника , а на сторонах трапеции и , следовательно , к ним  он не может применить то свойство о квадрируемости луночки, которое он доказал в начале . В этом же упрекал Гиппократа и Аристотель . Аристотель считал , что Гиппократ совершил грубую ошибку , полагая возможным квадратуру луночки, построенной на стороне квадрата, необдуманно применить к квадратуре луночки, построенной на стороне шестиугольника.

Другая попытка решить задачу о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки была предпринята древнегреческим ученым  Антифоном . Он в данный круг, квадратура которого находилась , вписывал сначала квадрат. Затем дуги , хордами которых являются стороны вписанного в круг квадрата , он делил пополам и точки деления соединял с вершинами квадрата и таким образом получал вписанный в круг правильный  восьмиугольник. Далее, дуги , хордами которых являются стороны вписанного в круг правильного восьмиугольника, делил также пополам и точки деления соединял с вершинами указанного восьмиугольника и получал вписанный в круг правильный 16-угольник. Продолжая этот процесс дальше, он получал вписанные в круг правильные 32-угольник, 64-угольник и т.д. Он считал, что указанным построением, выполняемым только при помощи циркуля и линейки, можно прийти к такому правильному многоугольнику, правда, быть может, с очень большим числом сторон, который полностью исчерпает круг, то есть его площадь будет равна площади данного круга. А так как для любого правильного многоугольника всегда можно построить равновеликий ему квадрат, то и для данного круга, поскольку он исчерпывается правильным многоугольником, можно построить равновеликий ему квадрат.

Еще в древности ученые подвергли решение Антифона резкой критике. Они совершенно правильно заявляли, что утверждение Антифона, будто правильный многоугольник может совпасть с кругом, противоречит основным началам геометрии. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Задача о квадратуре круга оказывается неразрешимой при помощи циркуля и линейки.

4.   Задача о трисекции угла.

Вторая древнейшая знаменитая геометрическая задача-это задача о трисекции угла. Слово «трисекция» происходит от латинского tri-в сложных словах означает «три»-и Sectio-«разрезание»;»рассечение». Родиной этой задачи является древняя Греция ( примерно 5 век до н.э.) Возникновение задачи о трисекции угла в отличие от делосской задачи об удвоении куба не связано ни с какими преданиями и легендами. Задача о деление угла на три равные части, по-видимому, возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей орнаментов, разного рода украшений многогранных колоннад и т д. ,при строительстве, внутренней и внешней отделке храмов, надгробных памятников и других больших и малых сооружений древние инженеры, художники и архитекторы встретились с необходимостью уметь делить окружность на любое конечное число равных частей, а это в некоторых случаях ( и довольно часто ) приводило их к рассмотрению трисекции некоторых углов. Делить угол пополам древние греки умели довольно легко, а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно. Сама жизнь и прежде всего практические запросы архитектуры и строительной техники требовали от геометров хорошо разработанной теории и практики построения правильных многоугольников . И нет ничего удивительного, что в древней Греции теория и практика построения правильных многоугольников в геометрической науке очень рано привлекает внимание ученых. Строить правильный многоугольник им удавалось сравнительно просто, когда равные дуги получались путем деления соответствующих центральных углов каждый раз пополам. Но случалось так , что равные дуги надо было получить путем деления центрального угла на три равные части, тогда перед геометрами возникали чрезвычайно большие трудности, которые и привели ученых к специальному рассмотрению задачи о трисекции угла. Пользуясь циркулем и линейкой, древние греки, например, легко строили правильный восьмиугольник. Для этой цели окружность делилась пополам, полученные дуги опять делились пополам ,а потом равные дуги, центральные углы которых равны 90, делились еще раз пополам. Затем концы равных восьми дуг соединялись хордами. Правильный восьмиугольник считался построенным. Но картина совершенно менялась , когда приходилось строить, скажем, правильный девятиугольник . В этом  случае окружность надо разделить на 9 равных частей. Разделив окружность на три равные части, получали центральные углы в 120 градусов. Теперь для завершения построения надо провести трисекцию угла в 120 градусов, а этого при помощи только циркуля и линейки, оказывается , выполнить точно невозможно. В этом случае перед учеными встала одна из трудных геометрических проблем , которая называется « знаменитой задачей о трисекции угла». Древнегреческие ученые проявили много тонкого остроумия для изобретения разного рода механизмов, с помощью которых они без особого труда делили произвольный угол на три равные части. Но перед ними всегда стоял вопрос: почему трисекция угла, легко выполняемая при помощи специально изготовленных механизмов ,не поддается разрешению при помощи циркуля и линейки?

Р. Декарт был первым ученым, который высказал предположение, что трисекция произвольного угла не может быть выполнена при помощи циркуля линейки, если последняя не имеет никаких отметок. Строгое же доказательство неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла впервые было дано в 1837 году П. Ванцелем.

5.   Делосская задача об удвоении куба.

Задача об удвоении куба основывается на двух легендах. Первая легенда принадлежит Эратосфену (276-194 годы до н.э.), знаменитому  греческому математику, астроному и философу. Вот что он рассказывал о причинах, побудивших рассматривать задачу об удвоении куба.

Однажды на острове Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились к знаменитому дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах ( Дельфы – общегреческий религиозный центр в Фохиде, у подножия горы Парнас ), за помощью и советом.

Чтобы прекратить страдания людей, ответил им оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник богу Аполлону ( богу Солнца ), имеющий форму куба.

Жители Делоса поспешили скорей отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один сверх другого, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.

Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоумевающим вопросам:

-Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?

На это им оракул с огорчением ответил:

-Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы.

Не в состоянии решить эту задачу так, как требовал оракул, делосцы обратились за помощью к знаменитому математику и философу Платону. Но он уклончиво ответил им:

-Боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

Однако сам Платон не сумел решить указанной задачи циркулем и линейкой. С того времени эта задача и стала именоваться « делосской».

Вторая легенда гласит: Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата .Для этого надо уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Если сторона данного квадрата равняется а, а сторона искомого квадрата х, то, согласно условию задачи, будем иметь:

Х2 = 2 а2, откуда х=а   √2 . Чтобы построить √2, нужно построить гипотенузу равнобедренного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Теперь остается отрезок, равный  √2, увеличить в а раз, тогда и получим сторону искомого квадрата. А проще всего в качестве х взять диагональ данного квадрата, которая, по теореме Пифагора, как                                                    раз и будет равняться а√2. 

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к геометрическому построению корня кубического из двух. Если ребро данного куба положить равным а, а ребро искомого куба- х, то, согласно условию задачи, будем иметь:

Х³=2а³, откуда х=а ³√2. Однако все старания построить  ³√2 циркулем и линейкой не увенчались успехом. И , трудно сказать, как долго еще продолжались бы эти попытки, если бы, наконец, в первой половине 19 века не было доказано, что при помощи циркуля и линейки, без привлечения других вспомогательных средств, ³√2 построить нельзя.  

6.   Заключение.

Все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему. Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное количество открытий ,имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Древность завещала решение всех трех задач нашим временам.  

Выполнив эту работу, я узнал много нового и интересного о знаменитых классических задачах древности, о людях, посвятивших себя решению данных задач, методами их решения.

Изучив весь материал, я понял, что все старания решить три знаменитые задачи с помощью циркуля и линейки привели только к доказательству, что подобное решение невозможно.                      

7.   Литература.

1.С. Акимова. Занимательная математика.Тригон.Санкт-Петербург,1998

2.Энциклопедический словарь юного математика. Москва. Педагогика. 1989

3.Школьная энциклопедия .Математика. Москва. Большая Российская энциклопедия.1996