Многовариантные геометрические задачи

Многовариантные геометрические задачи.
Работу выполнилЕршов Даниил, 11Б класс.Руководитель:Бобровская М.В., учитель математики ТОГАОУ«Мичуринский лицей». 2013год.
Дополнительный материал к уроку геометрии в 11 классе.
Объект исследования:Процесс решения геометрических задач.Предмет исследования: Идея многовариантности некоторых геометрических задач. Проблема: Существуют задачи, имеющие неоднозначный ответ. Цель исследования: Выявление и изучение характерных признаков классификации многовариантных геометрических задач.Применение этих признаков при решении стереометрических задач. 1 тип задач. Условие задачи не определяет взаимное расположение точек и фигур. Примеры: Точка или принадлежит отрезку АВ, или ему не принадлежит, но лежит на прямой АВ.Точки лежат или в одной полуплоскости относительно заданной прямой, или в разных.Различные положения центра описанной окружности или ортоцентра треугольника в зависимости от вида треугольника. Задача. В круг радиуса R вписана трапеция так, что расстояние от центра круга до одного из ее оснований вдвое меньше соответствующего расстояния до другого основания. Найти периметр трапеции, если известно, что один из ее углов равен 60 градусов. Решение. 1 случай: 2 случай: Задача. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60 градусов. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС. 2 тип задач: В условии задачи фигурируют две касающиеся окружности, но не указан способ касания: внешний или внутренний. В задаче даны две точки, делящие окружность на две дуги, кроме того известно, что некоторая прямая касается окружности, но не указано, на какой из двух дуг лежит точка касания. 4
4
O2
O1
С4 Дан отрезок длины 20. Три окружности радиуса 4 имеют центры в концах этого отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.
4
20
2
2
R
4
O
4
4
O3
R – 4
3
x
15
1 случай
С4 Дан отрезок длины 20. Три окружности радиуса 4 имеют центры в концах этого отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.
Ответ: 6,25 или 12,5
20
4
4
4
4
2
2
R
4
R – 4
4
2 случай
Задача. Прямая касается двух окружностей с радиусами 4 и 8 в точках К и М соответственно. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если КМ = 5. Решение. 3 тип задач. В задаче фигурируют объекты, которым приписываются определенные свойства, но не указан порядок соответствия между множеством объектов и множеством их свойств. Примеры: В условии сказано, что треугольник АВС равнобедренный, но не сказано, какие пары сторон равны.Точка М делит отрезок АВ на отрезки длиной а и в. При этом не уточнено, какой из них равен а, а какой – в.Известно, что угол между пересекающимися прямыми АВ и СД равен а. Однако не указано, какой из углов – АМД или АМС ( М – точка пересечения прямых) – острый. В
С
К
A
D
С4
1 случай
Диагонали трапеции равны 13 и , а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
13
a
a
b
F
4
12
16
5
5
a + b
= 12 + 4 = 16
В
С
К
A
D
С4
2 случай
Диагонали трапеции равны 13 и , а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
13
a
a
b
F
12
4
8
5
5
a + b
= 12 – 4 = 8
Задача. Дан ромб со стороной, равной 1, и острым углом равным 30 градусам. Точка К лежит на стороне ВС, причем ВК = КС. Найти расстояние от вершины В до прямой АК.( Условие задачи нас привязывает к вершине В. Но при этом мы не знаем, является ли угол В острым или тупым.) Решение.1 случай. 2 случай. Многовариантные задачи в стереометрии. Через вершину В1 куба АВСД А1В1С1Д1 проведена плоскость, пересекающая ребра ВС и АВ и образующая с гранью АВСД угол а, причем в сечении получен равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, если ребро куба равно а. Вывод:
Каждый раз, когда нам кажется, что решение уже завершено, желательно задать самому себе вопросы: « Все ли я учел? Может быть, полученный ответ неполный?»Уверенность – это важнейшее качество, но разумная степень сомнения в правильности своих действий иногда оказывает существенную пользу. Дополнительный теоретический материал.
В треугольнике со сторонами а, в, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, Ѕ(в+с-а).Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полу-разности оснований, а проекция диагонали – полусумме.Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.Центр окружности, описанной около трапеции , лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R≥ r) равно R + r при внешнем касании и R - r при внутреннем.
Если р – полупериметр треугольника, ra – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)ra.Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле
Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r равен Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия , равным |cos B|.ПустьО – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда
Проверь себя… Задача. Из вершин острых углов В и С треугольника АВС проведены две его высоты – ВМ и СN, причем ВМ и СN пересекаются в точке H. Найти угол BHC, если известно, что МN = 1/3 ВС. Если в треугольнике АВС проведены высоты ВМ и СР, тогда треугольник АМР подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным |cosA|.
Теорема.
А
В
С
М
Р
Доказательство:
1. АРС:
cosA =
2. ВМА:
cosA=
3. =
, < А - общий
Тогда АМР ˜ АВС
По 2 признаку подобия
Где к= соs A
Дано: АВС-тупоугольный, < ВАC -тупой
А
В
С
М
Р

Доказать: АМР ˜ АВС,
ВМ , СР- высоты
к =|cosA|
Доказательство:
1. АРС:
cosA =
2. ВМА:
cosA=
3. =
, Тогда АМР ˜ АВС
По 2 признаку подобия
Где к= |соs CAB|
А
В
С
М
Р
Литература. И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин. Сборник задач по геометрии.И.Л. Бродский, Е.И. Аладьин. Решение экзаменационных задач по геометрии, 9класс.П. Горнштейн и др. Экзамен по математике и его подводные рифы.