Тригонометрия в геометрии.

Слайд 1

Слайд 2

Решая задачи по геометрии, нам часто приходится использовать теоремы синусов, косинусов ,определение тригонометрических функций углов от 0 ° до 180 ° , формулы приведения . Но мы предполагаем, что это не исчерпывает применение тригонометрии в геометрии.

Слайд 3

Цель работы: исследовать нетривиальные случаи применения тригонометрии в геометрии. Объект исследования: процесс применения тригонометрии к решению геометрических задач. Предмет исследования: геометрические задачи, решаемые средствами тригонометрии.

Слайд 4

Гипотеза: существует ряд задач в геометрии, решение которых требует привлечение расширенных знаний тригонометрии. Задачи проекта : отыскать геометрические задачи с нетривиальным применением тригонометрии, провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрии и без нее, создание банка задач по теме.

Слайд 5

Например.

Слайд 6

Задача№1. Стороноа AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB , точки M и N делят AD на три равные части. Найдите сумму углов AMB,ANB,ADB. Решение. A B C D M N Очевидно, что AMB=45 Пусть ANB=x, ADB=y . Видим, что tgx=1/2,tgy=1/3 . Найдем Значит x + y=45. . Ответ: сумма указанных углов 90

Слайд 7

2-ой способ. Приложим к стороне AD прямоугольник ABCD , равный ему прямоугольник ADEF . BKD=90 т.к. FBK= EKD. И . Таким образом BKD прямоугольный равнобедренный Следовательно, . B C D N M A E F K Ответ: сумма искомых углов 90 .

Слайд 8

Рассмотрим геометрическую задачу, решение которой сводится к отысканию корней тригонометрического уравнения. Задача№2.

Слайд 9

В данном треугольнике ACE провели высоту CH , биссектрису CB , медиану CM . Могло ли так получиться, чтобы при этом угол C был разделен на четыре равные части ? Решение . Применим теорему синусов в треугольнике AMC и CME : Получили уравнение: A C E M B H

Слайд 10

Решим полученное уравнение Ответ: треугольник.удовлетворяющий условию, имеет углы

Слайд 11

Заметим. 1. В задаче №1 очевидное преимущество тригонометрического способа решения. 2. В задаче №2 единственно возможное решение именно тригонометрическое. Выводы: применение тригонометрии бывает чрезвычайно полезным при решении геометрических задач. Решение таких задач развивает геометрическую и логическую культуру.

Слайд 12

Проект не является законченным продуктом ,так как находится в стадии разработки.