Исследовательская работа по теме:"Потеря корней и посторонние корни при решении уравнений".

Слайд 1

Слайд 2

МОУ "СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов" города Всеволожска. Исследовательскую работу подготовил ученик 11 Б класса: Васильев Василий. Руководитель проекта: Егорова Людмила Алексеевна.

Слайд 3

Уравнение Для начала рассмотрим различные способы решения данного уравнения sinx+cosx =- 1

Слайд 4

Решение №1 sinx+cosx =-1 я У х 0 1 sin(x+ )=- 1 sin(x+ )=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Ответ: +2

Слайд 5

Решение №2 sinx+cosx =- 1 я Ответ: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin )= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Слайд 6

Решение №3 я у х 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Ответ:

Слайд 7

sinx+cosx =-1 Решение №4 я у х 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Ответ: - + 2 n

Слайд 8

Сверим решения Верные решения Разберемся, в каких случаях могут появиться посторонние корни и почему №2 Ответ: +2 №3 Ответ: №4 Ответ: + 2 n №1 Ответ: +2

Слайд 9

Проверка решения Надо ли делать проверку? Проверять корни на всякий случай, для надежности? Это конечно полезно, когда подставить просто, но математики народ рациональный и лишних действий не делают. Рассмотрим разные случаи и вспомним, когда проверка действительно нужна.

Слайд 10

1. Простейшие готовые формулы c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a В тех случаях, когда корни найдены по простейшим, готовым формулам, то проверку можно не делать. Тем не менее, при использовании таких формул следует помнить условия, при которых можно их применять. К примеру, формулу = можно применять при условии a 0 , -4ac 0 А грубейшей ошибкой считается ответ x= arccos2+2 для уравнения cosx =2 , так как формулой x= arccos a +2 можно пользоваться только для корней уравнения cosx =a , где | a | 1

Слайд 11

2 . Преобразования Чаще при решении уравнений приходится проводить много преобразований. Если уравнение заменить новым, имеющим все корни предыдущего, и преобразовывать его так, чтобы не произошло потери или приобретения корней, то такие уравнения называются равносильными. 1. При переносе составляющих уравнения из одной части в другую. 2 . При прибавлении к обеим частям одного и того же числа . 3 . При умножении обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число . 4 . При применении тождеств, верных на множестве всех действительных чисел . При этом проверка не обязательна !

Слайд 12

Однако, не всякое уравнение можно решить равносильными преобразованиями. Чаще приходится применять неравносильные преобразования. Часто такие преобразования основаны на пользовании формул, верных не при всех действительных значениях. При этом, в частности, меняется область определения уравнения. Такая ошибка находится в решении №4. Разберем ошибку, но прежде вновь посмотрим на способ решения №4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Ошибка кроется в формуле sin2x= Этой формулой пользоваться можно, только следует дополнительно проверить, являются ли корнями числа вида + при которых не определен tg . Теперь ясно, что в решении потеря корней. Доведем его до конца.

Слайд 13

Решение №4 я у х 0 1 Проверим числа = + n подстановкой : x= + 2 n sin( + 2 n )+ cos ( + 2 n )=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значит x= +2 n является корнем уравнения Ответ: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Слайд 14

Мы рассмотрели один из способов потери корней, в математике их великое множество, поэтому нужно решать внимательно, помня все правила. Также, как можно потерять корни уравнения, можно и приобрести лишние в ходе его решение. Рассмотрим решение №3 в котором допущена такая ошибка .

Слайд 15

Решение №3 я у х 0 1 2 2 и лишние корни! Посторонние корни могли появиться, когда обе части уравнения были возведены в квадрат. В этом случае необходимо сделать проверку . При n=2k имеем sin k+cos k=-1; cos k=-1 при k=2m-1 , Тогда n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Ответ: +2 При n=2k+1 имеем sin +cos =- 1 sin( + k)+ cos ( + k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Слайд 16

Итак, мы рассмотрели пару возможных случаев, коих великое множество. Старайтесь не тратить свое время зря и не совершать глупых ошибок.