Всероссийский дистанционный конкурс «Наглядная геометрия» Орлов М

Додека́эдр (от греческого двенадцать граней) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет

• 12 граней (пятиугольных),
• 30 рёбер и
• 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Свойства

В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдра

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

• Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Интересные факты

Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

А вот он в развернутом виде

Римский додекаэдр — это маленький полый объект, сделанный из бронзы или камня, имеющий форму додекаэдра: двенадцать плоских пятиугольных граней, каждая из которых имеет круглое отверстие в центре, совпадающее с аналогичным отверстием противоположной грани. Римский додекаэдр датируется II-м или III-м веком нашей эры.

Около сотни подобных додекаэдров было найдено на территории различных стран, от Англии до Венгрии и запада Италии, но большинство найдено в Германии и Франции. Размеры варьируются от 4 до 11 см, а узор и наружная текстура абсолютно различны. В основном, образцы сделаны из бронзы, но некоторое количество высечено из камня.

По сей день функции этих объектов остаются загадкой. Нет никаких упоминаний о них в исторических текстах или изображениях того времени. Существуют различные версии их использования:

• подсвечники (внутри одного из них был найден воск)
• игральные кости
• инструмент для ориентирования на местности
• инструмент для калибровки водяных труб (для этого круглые отверстия имеют разный диаметр)
• элемент армейского штандарта

Найденный в упомянутом выше объекте воск мог быть остатком выплавляемой литейной модели (технология литья по выплавляемым моделям — одна из древнейших технологий точного литья).

Есть мнение, что они могли быть религиозным символом или инструментом для гадания. Предположение основано на том факте, что большая часть образцов была найдена на местах галло-римских поселений

С древнейших времён известна фигура, у которой 12 граней — правильные пятиугольники. Такой додекаэдр — одно из пяти платоновых тел . Однако, у этого во многих отношениях идеального многогранника есть недостаток. Дело в том, что правильными пятиугольниками нельзя без зазоров покрыть плоскость. Также додекаэдрами невозможно плотно заполнить пространство. Из этого следует невозможность существования кристаллов в форме платоновского додекаэдра. Однако, известны вирусы и белки́ в форме такого додекаэдра, с осями симметрии пятого порядка. Предполагают, что они приобрели такую форму во избежание кристаллизации.