Четырёхугольники и их свойства

“Четырехугольники и их свойства
Выполнил: ученик 9”А” класса Нечаев Сергей Руководитель: Байгулова Нина Витальевна
Информационный проект по теме:
Содержание
1.Введение2.Историческая справка3.Теоретический материал4.Практические задачи5.Проверь себя6.Заключение7.Литература8.Рецензия
Введение
Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными вам теоремами; при изготовлении технических чертежей — выполнять геометрические построения. И если Вы, хорошо изучили курс геометрии, то не останетесь безоружными, когда при решении практических задач потребуется применить геометрические теоремы или формулы.
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». (Г. Галилей)
Цели:- обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме “Четырехугольники”;- совершенствовать применение полученных знаний при решении практических задач;- подготовиться к итоговой аттестации по геометрии в 9 классе.
Задачи: - научиться решать задачи практического характера; - развить умение рассуждать логически; - научиться пользоваться справочной и научной литературой.
Историческая справка
к Термин “параллелограмм” греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцами. Слово “ромб” тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенном в обмотанном веретене. Термин “квадрат” происходит от латинского quadratum (quadrare – сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” – четырехугольник. “Трапеция - слово греческое. Означавшее в древности “столик” (по-гречески “трапедзион” означает столик, обеденный стол).
Историческая справка
Зачатки геометрических знаний, связанных с измерениями площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Потребность измерения площадей и расстояний привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Первые сведения о таких рукописях относятся к XVI в.
Виды четырехугольников
Произвольный четырехугольник
Сумма внутренних углов равна 360 градусовПлощадь (через диагонали и угол между ними)
Свойства и признаки произвольного четырехугольника
Параллелограмм
Противолежащие стороны попарно параллельны.
Противолежащие стороны равны и параллельны.

- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Свойства и признаки параллелограмма
Свойства и признаки параллелограмма
Противолежащие углы попарно равны
Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180 градусов
Свойства и признаки параллелограмма
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
Свойства и признаки параллелограмма
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Свойства и признаки параллелограмма
Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.
Обе диагонали делят четырехугольник на четыре равновеликих треугольника (одинаковой площади)
Площадь параллелограмма
Через сторону и опущенную на нее высоту:

Через две прилежащие стороны и угол между ними:
Площадь параллелограмма
Через диагонали и угол между ними:
Ромб
Свойства ромбаВсе стороны равны.
Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
- это параллелограмм с равными сторонами
Свойства и признаки ромба
Обе диагонали являются биссектрисами внутренних углов
Прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии.
Площадь ромба
Через сторону и высоту:
Через сторону и радиус вписанной окружности:
Через сторону и угол ромба:
Через диагонали:
Квадрат
- это прямоугольник, у которого все стороны равны
Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменяется при повороте на
Свойства и признаки квадрата
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь делятся пополам
Площадь квадрата
Через сторону:Через диагональ:
Прямоугольник
Свойства прямоугольникаДве стороны параллельны, и углы прямые. Две противолежащие стороны равны, и углы также прямые.
- это параллелограмм, у которого все углы прямые

Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам
Площадь прямоугольника
Через стороны:Через диагональ и угол между диагоналями:
Трапеция
- это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – не параллельны (боковые стороны)
Свойства трапеции
Свойства трапецииСредняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме.Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна
Свойства трапеции
Треугольники AOD и DOC, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади)
Треугольники AOD и COB, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.Коэффициент k равен отношению оснований:Отношение площадей этих треугольников равно
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. S= ∙ h
Площадь трапеции равна произведениюсредней линии на высоту.S= MN∙ h
Практические задачи
1. Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб? Ширина листа 300 мм.
Решение: n=50 шт.1) 2)3) BC = 600 мм. Ответ: BC = 600 мм.
Проверь себя
1. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м.Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60 градусов, а высота насыпи равна 12 м.Ответ: ширина 74 м.
3. Поперечный разрез траншеи имеет форму трапеции. Найти угол уклона стенок траншеи? Стороны равны по 2 мОтвет: 63 градуса
2. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая информация?Ответ: да, достаточно.
Проверь себя
4. Прямоугольное поле стадиона окружено беговой дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть 400 м. Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ширину дорожкиОтвет: a=25, BC =125
Заключение
При работе над своим информационным проектом, я заметил, что четырехугольники один из интересных разделов планиметрии. Знания свойств четырехугольников помогают в решении многих практических задач во многих сферах деятельности человека (в строительстве и земледелии, в производстве и быту). Также я обобщил свои зная по выбранной мною теме. Я узнал много интересной и полезной информации, которая мне в будет полезна в дальнейшем изучении курса геометрии.
Литература
Г.П.Бевз “Геометрия 7-11 класс.“ Москва, “Просвещение“, 1994 В.Г.Болтянский “Экспериментальное пособие по геометрии для 8 класса.“ “Педагогика“, 1977 Л.Э.Генденштейн “Наглядный справочник по геометрии.“ Москва, “Издат-школа“, 1997 Г.И.Глейзер “История математики в школе VII – VIII классы.“ Москва, “Просвещение“, 1982 В.А.Гусев “Дидактические материалы по геометрии. “ Москва, “Просвещение“, 2001 Б.Г.Зив “Задачи по геометрии.“ Москва, “Просвещение“, 2000А.Я. Симонов “Упражнения по математике” Москва, “Просвещение“, 1991