исследовательская работа "Искусство отгадывать числа"

Муниципальный конкурс творческих работ учащихся

«Шаг в науку»

группа «Юниор»

                             Исследовательская работа

                           «Искусство отгадывать числа»

                    Российская Федерация, Забайкальский край, пгт Шерловая Гора

Работу выполнила:

Гаврикова Валерия,

ученица 7 «Б» класса

муниципального общеобразовательного учреждения:

Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа №47

.

Руководитель:

Подгорбунская Ирина Викторовна,

учитель математики

  муниципального общеобразовательного учреждения:

Шерловогорская  средняя общеобразовательная

 школа №47.

          2013г.

«Искусство отгадывать числа»

                                                                                      Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 7 «Б» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Аннотация

               Исследовательская работа «Искусство отгадывать числа».

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.  Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики. Подавляющее большинство задач сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же умения решать уравнения понадобятся в дальнейшем при решении задач по физике, химии. Составление и решение уравнений способствуют развитию мышления, находчивости, сообразительности, инициативности.

Цель данной работы - исследовать, что же лежит в основе задачи «Искусство отгадывать числа».

Гипотезой исследования стало предположение, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить  следующие  задачи:

1) изучить литературу по данному вопросу;

2) найти виды уравнений, изучаемых в школьных учебниках 5,6,7,8 классов

     (автор А.Г.Мордкович)    

3) исследовать задачу «Искусство отгадывать числа»;

4) разработать памятку «Решаем уравнения на 5».

         Методы:

 - поисковый метод с использованием научной  и учебной  литературы;

 - исследовательский метод при определении видов уравнений

 - практический метод при разработки памятки «Решаем уравнения на 5».

                                                                «Искусство отгадывать числа»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 7 «Б» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

План исследований

- в первом разделе представлены исторические сведения о развитии уравнений;

- во втором разделе представлены виды уравнений, изучаемые в  школьных

  учебниках 5,6,7,8 классов(автор А.Г.Мордкович);    

- в третьем разделе приведено исследование задачи «Искусство отгадывать

  числа»;

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного

  исследования;

- список литературы;

- в приложении представлена памятка «Решаем уравнения на 5».

                                                                «Искусство отгадывать числа»

                                                                                         Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 7 «Б» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

                                                Краткая аннотация

Данная работа посвящена изучению видов уравнений, рассматриваемых в  школьных учебниках 5,6,7,8 классов(автор А.Г.Мордкович).   Целью данной работы является исследование задачи «Искусство отгадывать числа»;

Работа носит аналитический и поисковый характер. В работе рассмотрены различные виды уравнений, выявлены  наиболее распространенные. Ценность работы заключается в исследовании, проведенном автором, по итогам которого она делает выводы.

«Искусство отгадывать числа»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 7 «Б» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Описание работы

                                                    1. Из истории уравнений

                                                            «Мне приходится делить свое время

                                                             между политикой  и   уравнениями.

                                                             Однако    уравнение,    по  –  моему,

                                                             гораздо    важнее,    потому     что

                                                             политика     существует    только

                                                             для данного момента, а уравнения

                                                             будут существовать вечно».

А. Эйнштейн.

  Искусство решать уравнения возникло давно, а занимается вопросом решения уравнений алгебра. Алгебра – это часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

   Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений.      

Уравнения первой и второй степени умели решать в древности также китайские и индийские учёные.

   Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаютcя во многих текстах глубокой древности. B Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850г. до н. э., и в папирусе Axмeca, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое «исчисление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Рис.1 Математический папирус Ринда; 1550 г. до н. э., Британский музей. Содержит решения 84 задач, вычисления площадей и объемов

Рис.2 Древнеегипетская запись уравнения.

        Вот пример задачи и её решение из папируса Ахмеса:

                       «Количество и его четвёртая часть дают вместе 15».

 В настоящие время для решения задачи составляется уравнение  

 Решая его, находим  х = 12.

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместо 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

 Египетский метод решения является по существу методом предложения. Начинают с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как  четверть его, 1, просто вычисляется. Далее 4 + 1 = 5. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно, во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название «метода ложного положения».

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском  Московском папирусе.

              Вот одна из задач Московского папируса.

          « Число и его половина составляет 9». Найти  число.

В современной записи уравнения к решению этой задачи будет иметь вид:

 В качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 2, так как вторая часть его один, просто вычисляется. Далее 2 + 1 = 3.Однако, по условию задачи результат должен быть не 3, а 9, следовательно, Во сколько раз 9 больше 3, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 2. А значит 2 · 3 = 6.

Ответ: неизвестное число 6.

В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед ал – Хорезми написал трактат « Китаб аль – джебр Валь – мука – бала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль – джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его  части в   другую с изменением знака.

                           Рис.3 Ал-ХОРЕЗМИ Мухаммед бен-Муса (783-850).

 В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений.

                               Рис.4 Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 — 1250).

   Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшие развитие алгебры: самые сложные формы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI  в. французский математик Ф.Виет ввёл буквенные обозначения.  

                                          Рис.5  Виет Франсуа (1540 —1603).

Однако эта символика отличалась от современной. Так, Виет для обозначения Неизвестного числа применял букву N (Numerus-число), для квадрата и куба неизвестного буквы Q (Quadratus - квадрат) и C (Cubus - куб). Например, запись уравнения:   х3-8х2+16х=40 у  Виета выглядела бы так: 1NC-8NQ+16N aequali 40 (aequali - равно).

         Рис.6  Диофант, живший, вероятно, в III в.

Диофант –  греческий ученый  в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение  записывал в символической форме

 Вот, к примеру, одна из его задач: «Найти два числа, зная, что их  сумма равна 20, а их произведение 96».

1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

2. Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х.

4. Отсюда уравнение  (10 + x ) *  (10 – x ) = 96  

                                 100 – х2 = 96      х2 – 4 = 0

5. Ответ x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12,
                                              другое  8.

Решение  x = - 2 для Диофанта не существует, т.к. греческая математика знала только положительные числа.

А современное решение будет таким: х- первое число, 20-х – второе, их произведение х*(20-х)=96. Решая его через квадратное уравнение находим исходные числа: 12 и 8.

Бхаскаре – Акариа – индийский математик  в XII век н.э.  открыл общий метод решения квадратных уравнений.

      Разберём одну из задач Бхаскары: «Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»

   Бхаскара пишет под видом  x2 – 64х = - 768. Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:  x2 – 64 x + 322 = - 768 + 1024

                                (x – 32)2 = 256

После извлечения квадратного корня получаем:    x – 32 =16. «В данном случае, говорит Бхаскара, - отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16».

Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Следует заметить, что данная задача решается элементарно, сводясь к квадратному уравнению (х/8)2 + 12 = x.

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.«Квадраты равны корням», т.е. ах2 = вх.

2.«Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3.«Корни равны числу», т.е.  ах = с.

4.«Квадраты и числа равны корням», т.е.  ах2 + с = вх.

5.«Квадраты и корни равны числу», т.е.   ах2 + вх = с.

6.«Корни и числа равны квадратам», т.е.  вх +с = ах2.

Разберём задачу аль – Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. «Квадрат и число равны корням.» Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням  того же квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата?»

Используя 4-ю формулу аль – Хорезми, можно записать: х2 + 21 = 10х

2. Исследовательская часть

                                               2. 1 Основные понятия уравнения

Уравнение – равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Выражение слева от знака равенства называется левой частью уравнения, а справа от знака равенства – правой частью уравнения. Это значение неизвестного, называется корнем уравнения или решением уравнения.                      

Корнем уравнения называется число, подстановка которого вместо буквы превращает уравнение в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

В уравнениях пишут одну из строчных букв латинского алфавита.

Чаще употребляют х(икс), у(игрек), z(зет), а(а), b(бэ), с(цэ).

Например: х + 12 = 30,  54 : у = 9,  b ·  6 = 48 ,  75 – с = 38, а2+3а-4=0

                                                   2. 2 Простые уравнения.

     Уравнения называются простыми тогда, когда нужно выполнить только одно арифметическое действие, чтобы найти неизвестное число.

Пример 1. Решаем уравнение      х + 12=78;      

1.   х – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:  х = 78 – 12 , х = 66.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение, вместо буквы х найденное число 66 и выполняем сложение.

  проверка: 66 + 12 = 78;  78 = 78.

3.   Сравниваем значения левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 66.

2. 3 Все виды уравнений, изучаемые в  школьных учебниках 5,6,7 классов                  

Где a, b, c, d, f – некоторые  числа, обыкновенные или десятичные дроби;

 x – корень уравнения.

   2. 4  Все виды квадратных уравнений, изучаемые в  школьном учебнике  

                                                                   8 класса    

     Квадратным уравнением  называется уравнение вида  

      где  a,  b,  c,  d – заданные числа, x  –  переменная.

     Дискриминант  

    квадратное уравнение  имеет два корня, если D больше 0

    квадратное уравнение  не имеет  корней, если D меньше 0

    квадратное уравнение  имеет один корень, если D равен 0

                                                 Формулы корней

Если хотя бы один из коэффициентов  c  или  b  равен нулю, то квадратное уравнение  называется   неполным квадратным уравнением.  

                                                      ах2+вх=0; ах2+с =0.

                     Примеры:   16х2+4=0;  х2-5=0;  5х2+3х=0; 2х2+х+5=0.

3.   Искусство отгадывать числа

Каждый из вас, возможно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте натуральное число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 2, отнимите 1. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Итак, что же лежит в основе фокуса? «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика».

                         Переведем данную задачу на язык алгебры.

                                                                     Таблица 1.

Чтобы ответить на выше поставленный вопрос, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое – то число x, то после всех действий у вас должно получиться 4x + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 9. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение  4x + 1 = 9, 4x = 8 и x = 2.

Математический фокус - Угадай число

Содержание фокуса.

• Попросите любого зрителя задумать число,
• после этого число он должен умножить на 2,
• прибавить к результату 8,
• разделить результат на 2 и
• задуманное число отнять.

В результате вы смело называете число 4.

Секрет фокуса.

Например, зритель задумал число 7. (7x2= 14; 14+ 8= 22; 22: 2= 11; 11- 7= 4)

Сведем к уравнению:                              Таблица 2.

Угаданный день рождения

Содержание этого математического фокуса.

Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале.

• Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения
• Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5,
• теперь пусть умножит на 50 полученную сумму.
• К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1)
• вслух назвать полученное число.

Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.

Секрет этого математического фокуса.

Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250.

У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.

Например, зритель задумал число 5.06. (5x2= 10; 10+ 5= 15; 15 x 50= 750; 750+6= 756; 756-250=506)

Сведем к уравнению:                              Таблица 3.

Таким образом, подтверждается гипотеза, о том, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.

1. На основе изученной литературы по данной теме, открыла  для себя много интересного и нового об  уравнениях, чего не могла прочитать в учебнике. Например, узнала о том, что ещё в древности люди пользовались ими, не зная, что это – уравнения. В наше время невозможно представить себе решение, как  простейших, так и сложных  задач не только в математике, но и в других  науках, без применения решения  уравнений.

2. Выполненный обзор школьных учебников 5,6,7,8 классов(автор А.Г.Мордкович) показал, что в учебниках встречаются несколько видов уравнений.

3. Научилась решать квадратные уравнения, которые изучаются в конце 8 класса.

3. Исследовав задачу «Искусство отгадывать числа», выяснила, что в основе задачи лежит уравнение.

4. Подготовлена и разработана памятка «Решаем уравнения на 5».

                                                       Список  литературы

         1. Учебники математики 5,6,7,8классы (автор А.Г.Мордкович)

2. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  Г. И. Глейзер ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией             В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

3. Ефимова, А. В. Решаем уравнения/А. В. Ефимова, М. Р. Гринштейн // Решаем уравнения: учебник для 5 кл-6кл. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2008. – 62 с.

4. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра / Я. И. Перельман// Занимательная алгебра. – М.: АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007. – 282 с.

5. Сведения из интернета (математические фокусы,  история возникновения уравнений, история возникновения  квадратных уравнений).

Приложение

Представлены памятки «Решаем уравнения на 5».