Доклад по теме "Геометрические преобразования в изделиях Императорского фарфорового завода"

Государственное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №571 с углубленным изучением английского языка Невского района Санкт-Петербурга

ШКОЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«МИР ВОКРУГ НАС»

Секция математики

Реферат  «Геометрические преобразования в изделиях Императорского фарфорового завода»

Выполнила ученица 10 «а» класса

Карабач Марина

Научный руководитель –

учитель математики

Евстафьева Анжелика Иосифовна

Санкт-Петербург 2012 г.

Оглавление

Введение        

Историческая справка        

Глава I: Преобразования плоскости        

Параллельный перенос.        

Поворот вокруг точки на плоскости.        

Симметрия        

Центральная симметрия.        

Осевая симметрия.        

Гомотетия        

Подобие        

Глава 2: Преобразования пространства        

Заключение.        

Библиография        

Приложение (примеры преобразований в изделиях ИФЗ)        

Введение

Императорский  фарфоровый завод – одно из старейших в Европе, первое и одно из крупнейших в России предприятий по производству художественных фарфоровых изделий. Расположен он, и ныне действует, в Санкт-Петербурге, в Невском районе, где я проживаю. Продукция этого завода хорошо известна и пользуется успехом  не только в России,  но и за рубежом. Орнаменты в изделиях весьма разнообразны,  а целью нашей работы, было выяснить, какие виды преобразований используют мастера фарфорового завода в своих работах.

Для достижения данной цели нами были разобраны (решены) следующие задачи:

1. Изучение математической базы (основы) существующих примеров преобразований.
2. Анализ имеющихся в доступности источников литературы
3. Посещение фарфорового завод с целью ознакомления с ассортиментом   (анализ каталога изделий фарфорового завода)
4. Определение выводов о наиболее часто встречающихся математических преобразованиях в творчестве мастеров фарфорового завода.

Историческая справка

Открытие завода датируется 1744 годом и назывался он тогда «Порцелиновой мануфактурой», с 1765 — Императорский фарфоровый завод, с 1917 — Государственный фарфоровый завод, в 1925 году заводу в связи с 200-летием Российской академии наук было присвоено имя М. В. Ломоносова; предприятие получило официальное наименование — Ленинградский фарфоровый завод имени М. В. Ломоносова, наряду с которым имела употребление краткая форма — Ломоносовский фарфоровый завод. С 2005 года завод ориентируется на выпуск высокохудожественных авторских произведений класса «люкс» под брендом «Императорский фарфор». В связи с этим название завода переименовали, и он стал называться Императорский фарфоровый завод (ИФЗ).

Сегодня ИФЗ производит изделия из всех разновидностей фарфора: твёрдого, мягкого, костяного. Посуда изготавливается методами ручного и машинного литья, а также формовки на полуавтоматах. Фарфор Императорского фарфорового завода декорируется надглазурными или подглазурными рисунками ручным, механизированным или комбинированным способом. При росписи элитной посуды применяются краски из золота и прочих ценных металлов.

Глава I: Преобразования плоскости

Существует несколько видов преобразований плоскости. Различают преобразования, относящиеся к движению, и преобразования плоскости, не являющиеся движением.

Рассмотрим сначала преобразования плоскости, являющиеся движениями, но прежде введём само понятие движения.

Пусть F – функция, аргументами и значениями которой являются точки плоскости. Запись A’ = F(A) означает, что F переводит точку A в точку A’. Функция F называется движением на плоскости, если для любых точек A и B расстояние AB равно расстоянию A’B’, где A’ = F(A) и B’ = F(B). Иначе говоря, движение сохраняет расстояния между точками. Итак, движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние.

Рассмотрим каждый вид движения на конкретных геометрических примерах, а так же найдем подобные примеры в продукции фарфорового завода (смотри в приложении).  

Параллельный перенос.

Определение: параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки одной фигуры смещаются в одном и том же направлении на один и тот же вектор – вектор переноса.

То есть, если есть произвольная точка A (x; y) фигуры F и точка A`(x+a; y+b) фигуры F`. Параллельным переносом называется такое преобразование фигуры F, при котором любая ее точка с координатами (x; y) переходит в точку с координатами (x+a; y+b), где a и b одни и те же для всех точек (x; y).

Параллельный перенос на вектор    обозначается  

При параллельном переносе на ненулевой вектор,  неподвижных точек нет.

Поворот вокруг точки на плоскости.

Определение: Поворотом фигуры F вокруг центра (точки) O на данный угол  ()в данном направлении, называется  такое преобразование плоскости, при котором  каждой точке  X  фигуры  F сопоставляется такая точка ,  что:

1. OX=
2. 
3. луч откладывается от луча OX  в заданном направлении.

Точка O  называется точкой поворота, а угол  -  углом поворота.

При повороте, если сама точка  (точка поворота)  принадлежит фигуре F, которую мы поворачиваем,  то этой точке  сопоставляется она сама. Если же точка поворота не принадлежит фигуре F , то при повороте на угол не кратный радиан, неподвижных точек нет.

Так, например, параллелограмм  переходит в себя при повороте на развёрнутый угол вокруг точки пересечения диагоналей.

Симметрия

Центральная симметрия.

Определение: центральной симметрией с центром в точке O называется такое преобразование этой фигуры, при котором каждой точке X  данной фигуры сопоставляется точка  такая, что точка O является серединой отрезка . При центральной симметрии центр симметрии переходит сам в себя.

При центральной симметрии неподвижной остается только точка центр симметрии.

Осевая симметрия.

Определение: осевой симметрией с осью  a называется такое преобразование фигуры, при котором каждой точке  данной фигуры сопоставляется точка  такая, что прямая a является серединным перпендикуляром отрезка . Если точка X  лежит на прямой a, то при осевой симметрии относительно a, она переходит в себя.

Фигура , полученная при осевой симметрии, называется симметричной фигуре F относительно прямой a.

Осевая симметрия с осью  a обозначается

Так как симметричность точек относительно прямой взаимна, то фигуры F  и  симметричны относительно прямой a.

В частности, фигура F может быть симметрична сама себе относительно некоторой прямой  a. Тогда говорят, что фигура симметрична относительно прямой a  и что прямая a является ее осью симметрии.

При осевой симметрии относительно прямой a неподвижными будут только точки, лежащие на прямой a.

Теперь рассмотрим преобразования плоскости, не являющиеся движениями. Из известных школьнику, к ним относятся преобразование подобия и гомотетия.

Гомотетия

Гомотетия (гомотетичный  в переводе с греческого означает равнорасположенный).

Определение: гомотетией с центром O и коэффициентом k (отличным от нуля) называется преобразование, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка , что . Не исключается, что .

( при  получается центральная симметрия с центром в точке O, при  получается тождественное преобразование).

 пример центральной симметрии

Основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k, т.е. если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки и , то . Именно поэтому гомотетия не является движением, так как при  расстояние между образами точек A и B не равно расстоянию АВ.

Перечислим еще свойства гомотетии, интересные нам с точки зрения изменения фигур:

1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину угла.
3. Гомотетия переводит треугольник в треугольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
4. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами  и  будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом .

Подобие

Определение:  подобием фигур называется композиция гомотетии и движения.

Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры; при этом отношение длин сходственных элементов называется коэффициентом подобия.

Перечислим некоторые свойства подобия, интересные нам с точки зрения изменения фигур:

1. Подобие отрезок переводит в отрезок.
2. Подобие сохраняет величину угла.
3. Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.(РИСУНОК
4. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
5. Композиция подобий с коэффициентами  и  есть подобие с коэффициентом .

Глава 2: Преобразования пространства

В пространстве к основным видам преобразований, описанных ранее, добавляется зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости).

Определение: зеркальной симметрией (или симметрией относительно плоскости ) называется такое преобразование пространства, при котором каждой точке  сопоставляется точка  такая, что отрезок перпендикулярен плоскости  и середина этого отрезка  принадлежит плоскости . Если точка X  лежит в плоскости , то при зеркальной симметрии относительно , она переходит сама в себя.

Примером геометрического тела, обладающего зеркальной симметрией, является октаэдр. У него 3 плоскости симметрии.

Заключение.

Работа, проведенная нами в области изучения преобразований и анализа их применения в изделиях Императорского фарфорового завода, показывает, что  авторы орнаментов и форм  в мастерских широко используют весь спектр математических моделей, таких как осевую, центральную, зеркальную симметрии, параллельный перенос, поворот, подобие и гомотетию. Это доказывает материал приложения, где указаны примеры всевозможных преобразований.

Библиография

1. Атанасян Л. С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класса Издательство: ВИТА-ПРЕСС, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2005 г. ISBN: 5-7755-0834-3 ISBN13: 978-5-7755-0834-0 176 стр.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 20-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 384 с. : ил.— ISBN 978-5-09-023915-8. 

3. Геометрия: Учебное пособие для 9 класса с углубленным изучением математики. Александров А.Д и др. Издательство: Просвещение (2004) ISBN: 5-09-011551-6

Интернет ресурсы:

Сайт Императорского фарфорового завода: http://www.ipm.ru/

Он-лайн каталог советского фарфора http://www.sovetskij-farfor.ru

Приложение (примеры преобразований в изделиях ИФЗ)

Замечания:

1. Во многих изделиях ИФЗ можно найти не один, а сразу несколько видов преобразований.

2. С целью художественного замысла, авторы отступают от конкретного вида преобразования, сохраняя его лишь в основе рисунка или формы.

Виды преобразований в изделиях Императорского фарфорового завода.

1. Параллельный перенос

2. Поворот вокруг точки

              Поворот на

3. Симметрия

                                        Осевая симметрия

                                        Одна ось симметрии

Осевая симметрия

5 осей симметрии

Центральная симметрия

Орнамент на крышке шкатулки можно рассматривать и как пример центральной симметрии, и как пример осевой симметрии (две оси симметрии).

Сама шкатулка обладает еще и зеркальной симметрией.

В данном изделии в орнаменте можно увидеть пример, и центральной симметрии, и осевой симметрии, и поворота.

Сама тарелка обладает зеркальной симметрией.

4. Подобие (маленький ромб в орнаменте подобен ромбу, составленному из 4 или 9 маленьких ромбов).

5. Гомотетия

(пример гомотетии можно увидеть на орнаменте блюдца)