Исследовательская работа учащихся по теме «признаки делимости чисел.

               Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красномаяковская основная общеобразовательная школа»

Поселок Красный Маяк Ковровского района Владимирской области

Исследовательская работа «ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ»

                                        Работу выполнила  Мальцева Ирина-ученица 6класса

                                        Руководитель  Никерова Анна Алексеевна-                        

        учитель математики

                        2013год

Содержание.

1.Введение.                                2

2.Теоретическая часть.                2-3

3.Практическая часть.                4-5

4.Заключение.                        5

5.Список литературы.                 5

Введение.

Мир вокруг нас поражает разнообразием различных тайн. Одним из ключей к загадкам Вселенной являются числа. Еще Пифагор сказал: »Мир построен на силе числа».

Тема моей работы «Признаки делимости .»

Цель проекта: найти признаки делимости, которые не изучаются в школьном курсе математики.

Для достижения цели решались следующие задачи:

-познакомиться с понятием» делители числа»;

-найти признаки делимости на 7, 11и13.

Гипотезы:

-для всех чисел существуют признаки делимости ?

-однозначное ли существование признаков делимости?

Методы исследования: сбор информации, анализ.

Теоретическая часть.

Числа… Мы сталкиваемся с ними на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения до старости.

В школе на уроках математики мы изучаем разные числа, выполняем действия с ними. Часто приходится выполнять деление, сокращение дробей.

 Из уроков математики я узнала признаки делимости чисел на        2,3,5,9 и  10. По        этим правилам я теперь могу , не выполняя деления, узнать, кратно ли данное число ,например, двум или девяти.

При разложении чисел на простые множители мне пришлось число делить на 7.

А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков

делимости на 7 ? А на другие числа?

Я нашла в энциклопедическом словаре Ф. А. Брокгауза и И.  А. Ефрона определение признака делимости. Признак делимости-это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Здесь же были записаны уже знакомые мне по урокам признаки делимости.

В словаре же я нашла признак делимости на7:

1).-для того, чтобы узнать, делится ли число на 7 , разделим его от правой руки на грани по 3 цифры в каждой; составим сумму граней нечетного порядка и из них вычтем сумму граней четного порядка (или обратно).Если разность делится на 7 ,то и число делится на 7.

В процессе поиска признаков делимости чисел я обнаружила, что это не единственный алгоритм деления на 7.Вот еще несколько:

2). -нужно взять последнюю цифру числа, удвоить её и вычесть из числа, оставшегося без последней цифры. Потом снова проверить, если то, что получилось делится на 7,то и само число делится на 7.

.3.)-если на 7 делится разность числа тысяч и числа ,выражаемого последними тремя цифрами. Эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трехзначному числу.

  В процессе работы над этой темой я обнаружила, что существуют несколько совершенно разных признаков делимости на 11.

В энциклопедическом словаре Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона этот признак записан так:

1.)-Чтобы узнать, делится ли число на 11,надо составить сумму цифр нечетного порядка и вычесть из нее сумму цифр четного порядка. Если разность делится на 11, и число делится на 11.

 Для не очень длинных чисел существует другой признак делимости на 11.

2.)-испытуемое число разбивается справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если полученная сумма  кратна 11, то и испытуемое число кратно 11.

.Другие признаки делимости на 11:

3)-число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

4.)-те натуральные числа , у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места.

Признак делимости на 13 я пока нашла только один. Он похож на признак делимости на7, только последнюю цифру надо не удваивать , а умножать на 9.

Практическая часть.

Этапы работы:

-изучение литературы;

-поиск необходимого материала;

-практическое применение материала.

 Работу над темой я начала с энциклопедического словаря Ф. А. Брокгауза и

И. А. Ефрона и энциклопедического словаря юного математика.

При изучении разных источников мной были найдены признаки делимости на7,11 и 13.Рассмотрим примеры применения этих признаков.

Признаки делимости на 7

1)Например число 6511509594436:

436+509+6=951

594+511=1105

1105-951=154

154 делится на 7, значит и данное число делится на 7.

2)Например, число 296492

Берем последнюю цифру «2», удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645.

Неизвестно, делится ли оно на 7.Поэтому проверяем снова.

Берем цифру»5», удваиваем её, получаем10.Вычитаем 2964-10=2954.

Неизвестно, делится ли оно на7.Поэтому проверяем снова.

Берем цифру 4, удваиваем, получаем 8.Вычитаем 295-8=287.

 .Неизвестно, делится ли оно на 7.Поэтому проверяем снова.

Берем цифру 7, удваиваем, получаем 14.Вычитаем 28-14=14.

Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на7

3)

 Например , число 825678 делится на 7 т, к 825-678=147 делится на 7.

        Признаки делимости на 11.

1)Например, число 98855075 делится на 11 т. К

9+8+5+7=29

8+5+0+5=18

29-18=11 делится на 11.

        2)Например , число26741 делится на 11 т. к

Разбиваем на группы данное число 2\67\41

Складываем группы 2+67+41=110. 110 делится на 11 , значит и26741 делится на 11.

3)Например , число 182919 делится на 11 т. к

1-8+2-9+1-9=-22  делится на 11.

4)Например , число 105787 делится на 11 т. к

1+5+8=14

0+7+7=14

14=14

Признаки делимости на13.

Например:858 делится на 13 т. к:

 Берем цифру 8 и умножаем на9.Получаем72.Вычитаем.

85-72=13.

13 делится на 13.

Заключение.

Целью проекта было найти признаки делимости на7, 11 и13.Для достижения цели были решены поставленные задачи. Изучая соответствующую литературу, я научилась применять признаки делимости на примерах. Практическая часть проекта позволила убедиться в верности найденных признаков.

Список литературы.

1.Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза.

2.Энциклопедический словарь юного математика –М.1989г.

3.Пособие по математике6—Лицей 1997г.