Теорема Пифагора

Слайд 2

ПИФАГОР И ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Слайд 3

Цели и задачи: Узнать, почему Пифагора называют человеком-легендой и почему ему приписывается доказательство теоремы Пифагора. Найти как можно больше интересных доказательств теоремы Пифагора. Научиться работать в программе Power Point Рекомендовать использовать данную презентацию на уроках геометрии, на математических вечерах и других математических мероприятиях.

Слайд 4

Содержание Пифагор – человек-легенда Пифагорейцы в математике Теорема Пифагора Доказательства теоремы Пифагора Математическая викторина Задача Пифагора Источники информации

Слайд 5

Да, путь познания не гладок. Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет! На радужной узрел я оболочке Бегущие квадратики, кружочки, Вселенной опрокинутый узор, И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки Пылающее имя - Пифагор!

Слайд 6

Пифагор Самосский – реальная историческая фигура. Но где его открытия, а где открытия его учеников, никто доподлинно не знает. Пифагор вообще « на одну десятую гений, на девять десятых выдумка». Но какой гений и какой выдумка!

Слайд 7

Пифагор Вся жизнь его - легенда. Мы знаем очень мало о жизни Пифагора. Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса (о. Самос почти рядом с Милетом!), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия... (ок. 569 – ок. 475 до н.э.)

Слайд 8

В Вавилоне в течение семи лет он постигал науки халдейских магов, мистическую науку о числах, законы музыки. При этом успехи были столь значительными, что слава о нем прокатилась не только по всему Вавилону, но достигла и родного острова Самос. Когда Пифагор вернулся на свой остров, его встречали как величайшего ученого. Но вскоре ему пришлось покинуть остров и уехать в один из цветущих городов южной Италии, Кротон, где им был основан знаменитый пифагорейский союз , бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался чуть ли не божеством...

Слайд 9

Пифагорейская школа «Союз Истины, Добра и Красоты» Система знаний школы состояла из четырех разделов: Арифметики – учения о числах; Геометрии – учения о фигурах; Астрономии – учения о строении мира; Музыки – учения о гармонии и теории музыки Эта система образования, заложенная Пифагором, просуществовала не века, а тысячелетия.

Слайд 10

Правила поведения, основные принципы жизни пифагорейцев (моральный кодекс «Золотые стихи»): Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать… Не пренебрегай здоровьем своего тела… Приучайся жить просто и без роскоши. Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши своих поступков в прошлый день . Беги от хитрости. Помните, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда изображает изящную душу. Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Нравственные правила и сегодня достойны подражанию!

Слайд 11

ВОЗДУХ

Слайд 12

Символ пифагорейцев – пентаграмма (пифагорейская звезда – «правильная пятиконечная звездочка») была для них также значима, как крест для христиан или полумесяц для мусульман, считалась символом дружбы, талисманом, которым одаривали друзей, тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Красота внешней формы пентаграммы связана с необычайным пропорциональным строением. Здесь есть среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое. Почему Пифагор выбрал именно этот знак?

Слайд 13

Политическая деятельность пифагорейцев в конце концов привела к краху – после 30-летнего существования союза Пифагору с учениками пришлось уехать в г. Тарант, а потом в г. Месапонт. Здесь, как гласит легенда, почти 95-летний Пифагор и погиб в одной из ночных стычек. Так закончилась легендарная жизнь первого математика!.. Но смерть Пифагора, как и жизнь, легендами окружена. Согласно другой из них, в Кротоне был подожжен дом пифагорейцев и последователи Пифагора проложили своими телами ему дорогу – мост через огонь. Они погибли, а Пифагор, будучи не в силах продолжать жизнь, купленную такой ценой, затосковал и покончил с собой.

Слайд 14

Заслуги Пифагора и его учеников в развитии математики Из арифметики была выделена в отдельную область исследований теория операций с натуральными числами. Были найдены способы суммирования простейших арифметических прогрессий. Занимались изучением свойств многоугольников, треугольников и так называемыми звездными многоугольниками (много внимания уделялось изучению пентаграммы). Школа Пифагора имеет отношение к построению теории подобия Теорема о сумме углов треугольника. Геометрические способы решения квадратных уравнений.

Слайд 15

По преданию, Пифагор сам установил, что приятные слуху созвучия получаются только если длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки: 1:2, 2:3, 3:4. Числа 1, 2, 3, 4 играли у пифагорейцев особую роль, их называли тетрактисом. Величайшим открытием было открытие несоизмеримости величин. Это имело философское и методологическое значение для всей дальнейшей математики. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой В геометрии впервые возник аксиоматический метод построения науки Основным содержанием пифагорейской математики является учение о числе. «Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определенного, всего познаваемого»

Слайд 16

Числовая мистика «Все есть число», «числа правят миром» - искренне верил Пифагор. Он считал, что через числа можно выразить все закономерности в мире. Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры, а их богатая фантазия наделяла их самыми невероятными свойствами. Четные числа считались несчастливыми, а нечетные – счастливыми. Эта традиция сохранилась и поныне: дарить на праздник нечетные, на похороны – четное число цветов - означало огонь – землю – воду – воздух (сумма этих чисел) – весь мир 1 2 3 4 10

Слайд 17

Тайна Пифагора Рассмотрим квадрат АВС D со стороной 1 см. Проведем диагональ В D . Найдем ее длину. По теореме Пифагора В D 2 = AB 2 + AD 2 , В D 2 = 2, В D = √2. Сейчас мы знаем, что √2 – это иррациональное число. Но во времена Пифагора таких чисел не знали. Это противоречило утверждению Пифагора «Все есть число». Отрезок существует, а числа, выражающего его длину, нет. Пифагор решил сохранить свое открытие в тайне. Существует легенда; один из пифагорейцев разгласил эту тайну. Боги разгневались и страшно его покарали. Он погиб при кораблекрушении. А В С D 1 см

Слайд 18

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии («магистр математики») «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике»

Слайд 19

Древнегреческий писатель и историк Плутарх ( I в) и древнегреческий философ-идеалист Прокл ( V в) утверждали, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков. Хотя такой поступок противоречит вегетарианству пифагорейцев, которые верили в переселение душ. Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, и поэтому ее назвали «теоремой Пифагора». С таким названием она и сейчас изучается в школе. Однако известно, что она применялась для решения задач задолго до Пифагора древними египтянами, вавилонянами, китайцами, индусами и другими древними народами. Но, по-видимому, Пифагору первому удалось доказать это утверждение.

Слайд 20

Клинописная запись теоремы Пифагора в Вавилонских текстах, написанных задолго до Пифагора. Таким образом, открытие соотношения между сторонами прямоугольного треугольника приписывать Пифагору нельзя. Скорее всего он первым сумел его обобщить и дать первое строгое доказательство в общем виде, смог перевести это утверждение из области практики в область науки. А также пифагорейцы нашли способ построения неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, удовлетворяющих условию a 2 + b 2 = c 2

Слайд 21

«Пифагоровы» числа a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 12 35 37

Слайд 22

Теорема Пифагора – теорема-рекордсмен по количеству различных доказательств, и занесена в книгу рекордов Гиннеса (более 500 самых различных доказательств: алгебраических, геометрических, механических и др.) Она применяется в геометрии на каждом шагу и такое количество доказательств свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. В старину ее называли «теоремой невесты». Чертеж к ней несколько напоминает пчелу. Можно проследить связь слов: пчела – нимфа – невеста; так появилось название теорема невесты. В древности доказательство теоремы было очень сложным, и нерадивые ученики подбирали ей всякие нелестные клички: «ослиный мост», «бегство убогих», «пифагоровы штаны» и т. д.

Слайд 23

Доказательства Пифагора 1 доказательство основывается на понятии равновеликих фигур. 2 доказательство основано на подобии треугольников. Однако одни историки считают, что учение о подобии было создано в школе Пифагора, а другие относят время его создания ко временам Евклида. Приведем пример второго доказательства. Из вершины С опустим высоту С D. Треугольники АВС, CDB и ACD подобны по двум углам. Из подобия треугольников АВС и ACD следует равенство АВ/АС=АС/ DA, откуда АС 2 =АВ  DA. Из подобия треугольников АВС и C В D следует равенство АВ/СВ=СВ/ D В , откуда СВ 2 =АВ  D В АС 2 + СВ 2 = АВ  ( DA + DB) = АВ 2 Аналогичное доказательство изучается в школьном курсе геометрии по учебнику Погорелова А. В. Но основывается оно на определении косинуса прямоугольного треугольника С В А a b c D

Слайд 24

Доказательство Бхаскари (средневековое доказательство) с с (а – в) 2 1/2ав 1/2ав 1/2ав 1/2ав с с «СМОТРИ»

Слайд 25

Доказательства Евклида В самом знаменитом научном труде по геометрии «Началах» Евклид приводит восемь способов доказательства теоремы Пифагора. Здесь даны рисунки к некоторым из них. Глядя на рисунок, попробуйте сами найти доказательство Евклида. E А В С H K J D G F M b a c Рис. 1 A M B G F H K D J E C c b a Рис. 2

Слайд 26

Математическая викторина Теорема названа по фамилии ученого. Ученый этот известный, его знают даже те, кто ее еще не изучал. А над самим ученым часто смеются, говорят, что у него штаны – во все стороны равны. Почему Пифагора называют человеком-легендой? Что в школе Пифагора считалось символом дружбы? Почему Пифагор выбрал именно этот знак? Какие учения составляли систему образования пифагорейской школы? Почему теореме Пифагора придумывали различные названия? В чем заключается тайна Пифагора? Чье доказательство заключается только в чертеже? Как образуются пифагоровы тройки чисел? Является ли открытие совершенных чисел открытием Пифагора?

Слайд 27

Задача Пифагора -Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? -Вот сколько,- ответил философ, -половина изучает математику, четверть-музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и кроме того, есть еще три женщины.

Слайд 28

Применение теоремы Пифагора при решении старинных задач Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г . На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя. (рис.1) 2. Задача старинного китайского трактата. В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера? (рис. 2) Рис.1 Рис. 2

Слайд 29

Желаем успеха!

Слайд 30

Источники информации: Математика для школьников. Научно-практический журнал. №2, 2004г. Математика. Газета «Приложение к 1 сентября». № 2, 45 2002г, № 45 2001г. Г. И. Глейзер «История математики в школе». Просвещение, Москва, 1964. А. В. Погорелов Геометрия 7-9, учебник. Л. С. Атанасян Геометрия 7 – 9, учебник Я. Голованов «Этюды об ученых», Молодая Гвардия, 1970 Электронное пособие «Большая энциклопедия»