Преобразование графиков функций

Аннотация

Автор: Ковалевский Александр  Александрович,

«Преобразование графиков функций», исследовательский реферат.

С.Тасеево, МБОУ «Тасеевская СОШ №2», 8 класс

Руководитель: Сазыкина   Людмила Ивановна,                                                                                          

МБОУ «Тасеевская СОШ №2», учитель математики и информатики

Цель: получить навык построения графиков функций, работа с которыми не подразумевается в рамках программы по математике 8 класса.

Задачи, поставленные для реализации цели работы:

1. Изучить методы построения графиков на примере квадратичной функции;
2. Изучить метод выделения полного квадрата из квадратного трехчлена;
3. Освоить методы построения графиков функций, содержащих модуль.

В работе применялись следующие методы исследования:

1.Изучение литературы по данной теме;

2.Анализ методов преобразования графиков функций;

3.Математическое моделирование.

После проделаной работы я пришел к выводу: в целях экономии времени при построении графиков функций необходимо знать и применять методы преобразований графиков.

Результатом данной работы, является получение новых знаний, не изучаемых в курсе 8 класса по изучению преобразований графиков функций с модулем.  В приложении 1 приводятся упражнения по теме «Построение графика квадратичной функции», к которым даны ответы. Упражнения можно использовать на уроках и во внеурочной деятельности.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        

1 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ        

2 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ        

2.1 РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) ВДОЛЬ ОСИ ОУ        

2.2 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОХ        

2.3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОУ        

2.4 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА у =f(│x│)        

2.5 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = │f (│x│)│.        

2.6 ПРИМЕР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ С МОДУЛЕМ        

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        

ПРИЛОЖЕНИЕ 1        

ВВЕДЕНИЕ

Первоначально тема преобразования графиков функций рассматривается на примере графика квадратичной функции в курсе 8 класса предмета «Алгебра». Кроме этого, столь интересный и важный вопрос входит в ГИА и ЕГЭ в более сложном варианте. В тестах можно встретить задания на построение и чтение графиков функции с модулем, а также примеры на преобразование функций. Однако, в школьном курсе математики 8 класса мы не встречаемся с построением графиков функций с модулем. Именно поэтому меня заинтересовала данная тема, так как навыки, полученные при выполнении работы, будут необходимы для прохождения Государственной Итоговой Аттестации и сдачи Единого Государственного Экзамена.

По этой причине передо мной возникла проблема построения графиков функций с модулем.

Предполагаю, что если освоить методы преобразований функций, то на построение графиков будет уходить меньшее количество времени.

Целью работы является получение навыков построения графиков функций, работа с которыми не подразумевается в рамках программы по математике 8 класса.

Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:

1.        Изучить методы преобразований графиков функций на примере квадратичной функции;

2.       Изучить метод выделения полного квадрата из квадратного трехчлена;

3.     Освоить методы построения графиков функций с модулем.

Для проведения исследования использованы методы:

1.Изучение литературы по данной теме;

2.Анализ методов преобразования графиков функций;

3. Математическое моделирование .

1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция вида y = ax2 + bx + с (a, b, с - постоянные величины; а ≠ 0) называется квадратичной. График функции y = ax2 называется параболой. Ось симметрии параболы есть ось ординат, именуемая осью параболы. График функции y = ax2 + bx + с также является параболой.

2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

 График квадратичной функции у = а(х – m)2 + n можно построить в несколько этапов. Рассмотрим их.

1. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) ВДОЛЬ ОСИ ОУ

Растяжение графика y =x2 вдоль оси ОУ в  а  раз. Если  │ а │< 1 происходит сжатие в а раз. При  а < 0 необходимо выполнить  отражение графика относительно оси абсцисс (ветви параболы при таком преобразовании будут направлены вниз). Результатом является график функции y = ax2.

2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОХ

Параллельный перенос графика функции  y = ax2 вдоль оси абсцисс на m единиц вправо при m > 0 и влево при m < 0. Результатом является график функции у = а(х – m)2

3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОУ

Параллельный перенос графика функции  y = ax2   выполняется путем смещения вдоль оси абсцисс на m единиц вправо при m > 0 и влево при m < 0. Результатом является график функции у = а(х – m)2

4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА у =f(│x│)

Часть графика функции у = f(x), лежащую в первой и четвертой координатных четвертях, а также на оси ординат не изменяем, а вместо части во второй и третьей координатных четвертях строим график, симметричный правой части относительно оси ординат.

5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = │f (│x│)│.

 Часть графика функции у = f(x), лежащую в третьей и четвертой координатных четвертях, отображаем симметрично относительно оси абсцисс, а затем отображаем симметрично эту часть относительно оси ординат.

6. ПРИМЕР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ С МОДУЛЕМ

y = │x2 – 4│x│-2│

Выделим полный квадрат из трехчлена  x2 – 4x -2 = (x – 2)2 -6.

Построим график функции у=│ (│x│- 2)2 -6│, применяя этапы преобразования:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования решены задачи:

1.        Изучены методы построения графиков;

2.       Изучен метод выделения полного квадрата из квадратного трехчлена;

3.     Освоены методы построения графиков функций с модулем.

После проделаной работы я пришел к выводу:действительно, зная основные методы преобразования графиков функций можно съэкономить время на их построение.  

Результатом данной работы, является получение новых знаний, не изучаемых в курсе 8 класса по изучению преобразований графиков функций с модулем.  В приложении 1 приводятся упражнения по теме «Построение графика квадратичной функции», к которым даны ответы. Этот задачник может быть использован на уроке и во внеурочной деятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. и др. «Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы» -  М.: Дрофа, 1999 г. – 863с.
2. Виленкин Н.Я. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, Новосибирск: ВО «Наука», 1992г
3. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ГИА 9. Практикум. Реальные тесты, М.: Экзамен, 2013г
4. Лысенко Ф.Ф. Математика. Тренажер по новому плану ГИА, Ростов- на -Дону, Легион, 2013г
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений/А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская, М.: Мнемозина, 2010г
6. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.2: Учебник для общеобразоват. учреждений, М.: Мнемозина, 2010г
7. Мордкович А.Г., Суходский А. М. «Справочник школьника по математике» 5- 11 классы – М.: ОНИКС·АЛЬЯНС – В,1999г.- 288с.
8. Семенов А.Л., Ященко И.В. «Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2012», М.: Экзамен, 2011 г.
9. http:/ www.match.ru/web/prog31_1.php

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

Построить графики функций:

1)

2)

3)

4)

Ответы:

1)

2)

3) Выделим полный квадрат трехчлена и построим график квадратичной функции:

4)