ПЛОЩАДИ фигур

Слайд 1

Площадь фигур Площадь плоской фигуры — числовая характеристика фигуры , целиком принадлежащей одной плоскости . В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов , площадь равна числу квадратов . «Её величество формула»

Слайд 2

Площадь — это вещественнозначная функция , определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям: Положительность — площадь неотрицательна; Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1; Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь; Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей. Об определении

Слайд 3

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники . Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй: Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур . Фигура называется квадрируемой , если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь . Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Слайд 4

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно. То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа ).