Проценты: хочу всё знать

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Задача №875. (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 5 класс)

В школе 750 учеников. Шахматный кружок при Доме детского творчества посещают 6% всех учащихся этой школы. Сколько учащихся этой школы посещают шахматный кружок?

Решение:

1) 750:100*6=45 учащихся  или 750*0,06 = 45

Ответ: 45 учащихся.

Задача№281.( учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 6 класс)

Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых- по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее- по лесной тропе. Сколько километров  мотоциклист проехал по лесной тропе?

Решение:

1) 120*0,3 = 36 км мотоциклист проехал по шоссе;

2) (120-36)*0,6 = 50,4 км мотоциклист ехал по грунтовой дороге;

3) 120-(36+50,4) = 33,6 км мотоциклист ехал по лесной тропе.

Ответ: 33,6 км

Задача №14.29. (задачник, А.Г. Мордкович. 7 класс)

В магазин поступили учебники по физике и математике. Когда продали 50% учебников по математике и 20% учебников по физике, что составило в общей сложности 390 книг, учебников по математике осталось в 3 раза больше, чем по физике. Сколько учебников по математике и сколько по физике поступило в магазин?

Решение:

Пусть Х учебников по физике и У учебников по математике. Зная, что продали 50% учебников по математике и 20% учебников по физике, и это составило 390 книг, составим уравнение: 0,5х + 0,2у=390.

А так как после продажи учебников по математике осталось в 3 раза больше, чем по физике, составим второе уравнение: 0,8у*3=0,5х.

Из первого и второго уравнений составим систему уравнений.

0,5х + 0,2у=390,
0,8у*3=0,5х.

Решим эту систему методом подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную у через х: у=1950-2,5х и подставим во второе уравнение: 2,4(1950-2.5х)=0.5х, отсюда следует что х= 720, тогда у=1950-2.5*720=150.

Ответ: в магазин поступило720 учебников по математики, 150 учебников по физике.

Задача № 884 (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 5 класс)

В обувной магазин с оптовой базы привезли 800 пар обуви, что составило 10% всей партии обуви, поступившей на оптовую базу. Сколько пар обуви поступило на оптовую базу?

Решение:

1) 800:10*100=8000 пар или 800:0,1 = 8000

Ответ:8000 пар.

Задача №284. ( учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 6 класс)

Зимой цену на бананы повысили на 1,44 р., что составило 18% их осенней цены, а весной цену подняли ещё на 25%. По какой цене бананы продавались весной?

Решение:

1)1,44:0,18=8 р. – осенняя цена.

2)8+1,44=9,44 р. – зимняя цена.

3)9,44+9,44*0,25=11,8 р. –весенняя цена.

Ответ: 11 р. 80 коп.

Задача № 589. ( учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 6 класс)

1) В магазине батон хлеба стоит 6,7 р., а на лотке цена такого же батона 6 р. На сколько процентов дешевле продаётся батон с лотка, чем в магазине?

2) Определите, на сколько процентов батон хлеба в магазине дороже чем с лотка?

В таких задачах всегда удобно за 100% принимать то, с чем сравнивают, и решать с помощью пропорций.

1)Решение:

6,7 р. – 100%

6р. –х%

х= 6*100:6,7≈89,5% ;      100%- 89,5=10,5%

Ответ: на 10,5%

2) Решение:

6р. – 100%
        6,7р – х%

х= 6,7*100:6≈111,6% ;        111,6%-100%=11,6%

Ответ: на 11,6%. 

Задача№591. ( учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 6 класс)

В результате дефолта (так называется экономический кризис, который случился в России в 1998 г.) цены на импортные товары выросли примерно в 5 раз. До дефолта кроссовки стоили 200 р. На сколько процентов новая цена кроссовок выше старой? На сколько процентов старая цена кроссовок ниже новой?

Решение:

1. 200*5 = 1000 р.- цена кроссовок после дефолта(новая цена);
2. 1000:200*100 = 500%;
3. 500%-100% = 400% - на столько процентов новая цена выше старой;
4. 200:1000*100 = 20%;
5. 100%-20% = 80% - на столько процентов старая цена ниже новой.

Ответ: 400%, 80%

Задача:№609 ( учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 6 класс)

Для организации коммерческой деятельности предприниматель взял ссуду в банке под 10% в месяц в размере 60 тыс. р. И приобрёл на эти деньги по оптовой цене товар. Товар был распродан в течение месяца по розничной цене.

• Какую выручку получил предприниматель после реализации товара, если розничная цена выше оптовой на 60%?

Ответ: 36 000 р., так как 60000*0,6 = 36000

• Найдите доход предпринимателя, если расходы на реализацию товара (аренда помещения, транспорт и т. д.) составляют 10% от выручки.

Ответ: 32400 р. так как 36000 – (36000*0,1) = 32400

• Какую сумму предприниматель заплатит в Пенсионный фонд, если отчисления в этот фонд с предпринимательского дохода (ПД) составляет 5% (ПД = выручка – все расходы)

Ответ: 1620 р. так как 32400*0,05 = 1620

• Найдите сумму чистой прибыли предпринимателя.

Ответ: 32400 – 1620 = 30780 р.

• Смог бы предприниматель расплатится с банком, если бы ему за месяц не удалось продать только половину приобретённого товара?

Ответ: нет, так как (60000 + 30780):2 = 45390 р., а это меньше той суммы, которую надо отдать в банк.

• На какую сумму предпринимателю необходимо продать товар, чтобы расплатиться с банком?

Ответ: не меньше, как на 66000 р., так как 60000 + (60000*0,1) = 66000

Задачи олимпиад «Олимпус» и «Мультитест»

Задача 1: Ручка на 25% дороже карандаша. На сколько  %  карандаш дешевле ручки? 

Решение: Пусть х- цена карандаша, тогда 1,25х-цена ручки.

          1) х:1,25х*100 = 80%

           2)100% - 80% = 20%

Ответ: на 20% карандаш дешевле ручки.

Задача 2: В сентябре заводом было изготовлено 350 курток. В октябре было изготовлено на 50% больше курток, чем в сентябре, а в ноябре на 20% больше, чем в октябре. Сколько всего курток было изготовлено заводом за эти три месяца?

Решение:

1)350+(350:100*50)=525 курток – в октябре(350*1,5 = 525)

2)525+(525:100*20)=630 курток – в ноябре(525*1,2 = 630)

3)350+525+630=1505 курток – за три месяца.

Ответ: 1505 курток.

Задача 3: Сумма двух чисел равна 84, а сумма 15% первого и 30% второго числа равна 18. Что это за числа?

Решение:

Пусть х- одно число, у – другое число.

Зная, что их сумма равна 84, составим уравнение: х+у=84.

Зная, что сумма 15% первого и 30% второго числа равна 18, составим уравнение: 0,15х+0,3у=18. Составим систему уравнений.

Решим её методом подстановки, выразив из первого уравнения переменную х через у: х=84-у.

Подставив во второе уравнение (84-у) вместо х, получим 0,15(84-у)+0.3у=18.

12,6-0,15у+0,3у=18, отсюда получим у=40, тогда х=84-40=44.

Ответ:44 и 40.

Задача 4: Известно, что 15% числа равны 18. Что это за число?

Решение:

1)18:15*100=120.

Ответ: 120.

Задача 5: Уменьшаемое больше вычитаемого на 30%. Сколько процентов вычитаемого составляет разность?

Решение:

130% - уменьшаемое, 100% - вычитаемое, 30% - разность,

 тогда 30:100*100 = 30%

или х – вычитаемое, 1,3х – уменьшаемое, 1,3х – х = 0,3х – разность,

тогда 0,3х:х*100 = 30%

Ответ: 30%

Задача6: На сколько процентов дробь В меньше дроби А, если
        

Решение:

1.  =  :  = 4
2.  = 3
3. 3:4*100 = 75% - дробь В
4. 100% - 75% = 25%

Ответ: дробь В меньше дроби А на 25%

Задачи районных математических олимпиад Новосибирской области. (составитель Шрайнер А.А.)

1983г. : Самолёт 80% пути летел на высоте 10 км, 40% оставшегося пути- на высоте 8 км, ещё 60 км заняли подъём и спуск. Каков путь самолёта?

Решение:

Iспособ

60 км - 60% - часть оставшегося пути, которая занята подъёмом и спуском, значит на 1% приходится 10 км;

40% = 40 км – часть оставшегося пути;

1) 60 км+ 40 км= 100 км – оставшийся путь

2) 100%-80%= 20% - оставшийся путь

3) 100:20*100= 500 км – весь путь.

Ответ: 500 км.

IIспособ

Пусть х км – весь путь, тогда 0,8х км – самолёт летел на высоте 10 км

х – 0,8х = 0,2х – оставшийся путь;

0,2х*0,4 = 0,08х – самолёт летел на высоте 8 км.

Зная, что подъём и спуск заняли 60 км, составим уравнение:

х – (0,8х + 0,08х) = 60;

0,12х = 60;

х = 500.

Ответ: 500 км.

1984г. : Товар подорожал на 20%, а затем его цена была снижена на 20%. Дешевле или дороже стал стоить товар в результате и на сколько процентов?

Решение:

I.способ

Пусть х – первоначальная цена, тогда после подорожания товар станет стоить 1.2х, а после снижения 0,8*1,2х=0,96х.

х-0,96х*100=4%

Ответ: дешевле после уценки на 4%.

II.способ

1)100%+20%=120% - стоимость товара после подорожания в процентах.

2)100%-20%=80% - стоимость товара после снижения в процентах.

3)80%*120%:100= 96%

4) 100%-96%=4%

Ответ: дешевле после уценки на 4%.

2000г. : Путешественник в первый день прошёл 20% всего пути и 2 км. Во второй – прошёл 50%остатка и ещё 1 км. В третий день – 25% оставшегося пути и ещё 3 км. Остальные 18 км пути он прошёл в четвёртый день. Какова длина пути, пройденного путешественником?

Решение:

Если Х км – весь путь путешественника, то в первый день он прошёл (0,2Х+2) км,

0,5*(х–(0,2х + 2))+1=0,5*(х-0,2х-2)+1=0,5х-0,1х-1+1= 0,4х км,-во второй день

0,25*(х-(0,2х+2+0,4х))+3=0,25*(х-0,2х-2-0,4х)+3=0,25*(0,4х-2)+3=0,1х-0,5+3=(0,1х+2,5)км-в третий день

18 км-в четвёртый день.

Составим уравнение:  

 0,2Х+2+0,4Х+0,1Х+2,5+18=Х

0,7Х-Х=-22,5

-0,3Х=-22,5

Х=75

Ответ: 75 км.