Метод математической индукции.

Слайд 1

Метод математической индукции — один из методов математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Работа Мурзиной Марии 10А класс Руководитель: Кокорина Л.А.

Слайд 2

Простые примеры Пример 1 . Есть вот какая формула: Эту формулу знали ещё древние. Она верна для всех натуральных n. Можно немного поэкспериментировать. n = 1: и слева, и справа будет 1. n = 2: слева 1 + 3, справа 2*2. n=3: слева 1 + 3 + 5 = 9, справа 3 * 3 = 9. Ну и так далее. Разумеется, несколько таких примеров могут помочь вывести формулу, но ещё не доказывают её. А вдруг при n = 1 234 567 890 это будет неверно?) Мы докажем, что всё верно. Итак, при n = 1 формула верна. Докажем вот что: если при n формула верна, то при подстановке n+1 вместо n она тоже будет верна: Как видим, действительно всё получилось. Приведённый метод доказательства является чем-то наподобие принципа домино.

Слайд 3

Принцип Домино Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Слайд 4

Принцип математической индукции В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции . Утверждение, зависящее от натурального числа n , справедливо для любого n , если выполнены два условия: 1. Утверждение верно для n = 1 и 2. из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k, где k – любое натуральное число, следует его справедливость для n = k+1.

Слайд 5

Доказательство по методу математической индукции 1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1); 2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n = k; 3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n = k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

Слайд 6

Пример 2. Доказать, что

Слайд 7

Решение Проверим справедливость этого утверждения для n=1 , т.е проверим справедливость равенства (1) Это очевидно: 1=1

Слайд 8

Решение 2) Предположим, что равенство (1) выполняется при n=k , т.е предположим, что верно равенство (2) Докажем, что тогда проверяемое равенство (1) верно и при n=k+1 , т. е. докажем, что верно равенство (3) (оно получается, если в обе части равенства (1) вместо n подставить k + 1). Подчеркнем еще раз, что равенство (3) интересует нас не само по себе, нас интересует только один вопрос: вытекает ли оно из равенства (2) .

Слайд 9

Решение Рассмотрим левую часть интересующего нас равенства (3) и воспользуемся в процессе преобразований равенством (2):

Слайд 10

Решение Итак, из равенства (2) вытекает равенство (3). Оба условия принципа математической индукции выполняются, значит, равенство (1) справедливо для любого натурального числа n.