Исследовательская работа «Приемы и способы решения заданий с параметром на ЕГЭ по математике»

Научно-практическая конференция совместных проектов и   исследовательских работ  педагогов   и   обучающихся

«Наука молодым. ХХI век»

Направление:

Исследовательские работы (теория естественно-математических наук)

«Приемы и способы решения заданий с параметром  на ЕГЭ по математике»

                                                                                                                               Автор                        Родикова Валерия Александровна,

учащаяся 11А класса, 

                                                                                                                       МБОУ «БСОШ №1»

Верхнекетского района

Томской области

Руководитель

Желнирович Надежда Викторовна, 

                                              учитель МБОУ «БСОШ №1»

Верхнекетского района Томской области

                                                                  2014 год

Содержание

Введение

В  современном мире каждый человек хочет  получить хорошую, престижную профессию, чтобы в дальнейшем обеспечить свою жизнь. Для этого уже в школьном возрасте нужно осваивать не только учебный материал  для того, чтобы имея прочные знания получить высокие баллы на ЕГЭ.  Для всех выпускников очень важно набрать большое количество баллов на ЕГЭ по математике,  так как это  прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ. Добиться этого довольно непросто: учебного времени не хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых является задание С5-уравнения и неравенства с параметром, приемы и способы решения которых в школьной программе практически не рассматриваются.

На  многих факультетах   ВУЗов нашей страны математика является профильным предметом, поэтому  без баллов, полученных за решение  С5,  не обойтись. Но изучая   результаты исследования Федерального Института  Педагогических Измерений (ФИПИ), я обратила внимание, что  в основной волне ЕГЭ по математике (июнь 2013 г.) приняли  участие 830161 человек по всей России, а приступили к выполнению  задания С5  всего лишь 14% выпускников, из которых только 1,5% (!) получили максимальный балл. Оказалось, что  по итогам ЕГЭ и  в нашей школе уже несколько лет подряд 100% выпускников не приступают совсем к решению С5. Меня очень заинтересовал вопрос: почему сложилась такая ситуация? Ведь задания с параметром встречаются не только  в математике. Очень многие законы и закономерности, например, из физики описываются уравнениями и неравенствами с параметрами. Фактически, решая задачи по физике, химии и некоторым другим школьным дисциплинам, мы имеем дело с параметрами. Кроме того, задания с параметром ежегодно включаются в контрольно- измерительные материалы государственной итоговой аттестации в 9 классе. Несмотря на это ученики задания с параметром даже не пробуют решать.  Поэтому я поставила  перед собой задачу изучить данную тему, попробовать  научиться  решать задания С5 самой и разработать набор рекомендаций, серию  видео уроков в помощь другим выпускникам,  желающим получить как можно большее количество баллов на ЕГЭ. В связи с этим  мною в данной работе рассмотрены способы решения и ряд примеров, большая часть которых взята из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет (задача C5).

Гипотеза моего исследования заключается в том, что существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов.

Объект исследования: задания контрольно - измерительных материалов единого государственного экзамена по математике прошлых лет, содержащие параметр

Предмет исследования: приемы и способы решения заданий с параметром

Цель данной работы заключается в следующем:

            1. Изучение специальных математических методов решения задач с параметрами

2.  Приобретение опыта решения задач с параметрами

3. Освоение способов решения заданий с параметром и выявление наиболее рациональных способов  решения.

Результатом исследования станут  мои высокие баллы по результатам ЕГЭ и  созданный банк заданий с параметром из материалов  ЕГЭ прошлых лет,  примеры решения которых будут сопровождаться видео уроками.

Основная часть.

I. Что такое параметр?

«Прохожий спросил философа Сократа:
- Сколько часов пути до города?
Сократ ответил:
- Иди…
Путник пошел, и, когда он прошел двадцать шагов, Сократ крикнул:
- Два часа!
- Что же ты мне сразу не сказал? — возмутился тот.
- А откуда я знал, с какой скоростью ты будешь идти!»

(о значимости некоторых параметров)

В  школьных учебниках определения параметра нет, в толковых словарях оно дается неоднозначно. Нас же будет интересовать значение   термина «параметр»  с точки зрения  математики. «Параметр (гр. Parametron-отмеривающий) – математическая  величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные а, b, c, …, k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметрами, а сами задания называются заданиями, содержащими  параметры» То есть, если в уравнении (неравенстве), некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Например,

,  ,   и т.д.

 II. Что означает «решить задачу с параметром»?

Как начинать решать такие задачи? И что означает «решить параметрическую задачу»? Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства:  привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, например,  разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д. Решая такие задания нужно множество раз обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия.

Проще говоря, решить задачу с параметром  – значит  указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

III. Каковы основные типы задач с параметрами?

1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Например: При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственный корень?

2. Уравнения (неравенства),  для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Например: При каких уравнение имеет ровно три корня?

           3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, при которых указанные уравнения (неравенства)  имеют заданное число решений ( или  не имеют решений, или имеют бесконечно много решений).

Например: Для каждого допустимого значения решите неравенство и найдите, при каких значениях множество решений неравенства представляет собой промежуток длины

 4. Уравнения (неравенства), для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например: При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

IV. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ применения  стандартных операций при решении уравнений (неравенств) без параметра, он же, на мой взгляд,  и самый трудный. При решении заданий аналитическим способом требуется знать большой объем математической информации и уметь грамотно это применять.

Приведу решение задания с параметром, которое я решала аналитическим способом:

1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение   имеет хотя бы один корень. (С5 ЕГЭ 2012г.)

Рассмотрим функции   и

 Функция

1.Пусть , тогда (раскрываем модуль со знаком минус) , . Получаем, что угловой  коэффициент функции  равен 4 либо 12, (так как может быть одинаковый знак в зависимости от числа х.)   При таких значениях график функции возрастает (так как коэффициент больше 0)

2.Пусть , тогда , Получаем, что угловой  коэффициент функции  равен  -4 либо -12. При таких значениях график функции убывает (так как коэффициент меньше 0)

3.При  х=0, тогда  Получаем, что =   Функция  возрастает при  и убывает при , поэтому =

Исходное уравнение имеет один корень, когда

 откуда  , либо   , где а=-5.

Ответ: -5,

Способ II (графический). Наиболее понятный и очень наглядный способ решения! На мой взгляд,  пользоваться им надо как можно чаще. Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Естественно, что для этого просто необходимо знать типы элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические), их  свойства и графики (кстати, в ВУЗах эта тема в курсе высшей математики изучается одной из первых) Использование графического способа даже  схематически помогает найти  решение задачи. Решая задания графическим способом, я сделала следующее наблюдение: если в правой и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то можно смело утверждать, что решение аналитическим способом такой задачи бессмысленно, не нужно тратить на него время, а лучше сразу же создать  графическую иллюстрацию задания. Наглядно и быстро!

Приведу пример  задания С5  ЕГЭ, которое очень  легко  решается  этим способом:

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение   имеет единственный корень. ( С5 ЕГЭ 2013г.)

 Запишем уравнение в виде  и рассмотрим две функции  и .

Рассмотрим функцию  , преобразовывая подкоренное выражение, получим:

.
Таким образом, получаем.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.

Графиком функции  является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)

Уравнение имеет единственный корень, если   графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).

Рассмотрим  рисунок: 1. Прямая МС является касательной  к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то  угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение  а=0,  при котором   уравнение имеет один единственный корень.

2. Проведем прямую  через точки М(4;2)  и  А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА   пересекает  график полуокружности  в двух  точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное  условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты  точек М и А в функцию.

-4а+16а+2=2                            3а+4а+2=0

12а=0                                         7а=-2

а=0.                                             а=

Получаем, -а=0 и –а=.

 При условии   прямые имеют с графиком  две общие точки, а это  не удовлетворяет условию задачи.

3. Проведем  прямую МВ  через точки М(4;2) и В(1;0).  Чтобы найти значения –а подставим координаты  точек М и А в функцию.

3а+4а+2=0                                          -а+4а+2=0

7а=-2                                                         3а=-2

а=                                                          а =

Получаем –а= и –а=. При условии прямые имеют с графиком  одну  общие точки и это удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а=0,

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После проведенных  упрощений возвращаются к исходному смыслу переменных x и a и заканчивают решение.

Ниже представлено  решение   параметрического задания  данным способом:

3.При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:  |х  + 3| - a|x – 1| = 4.

Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в ноль. Получили х= -3 и х=1. Разобьем числовую прямую на 3 части полученными точками и решим 3 системы:  1)    , если  . Найденный  будет решением, если  .

 2)    , если  . Найденный  удовлетворяет нужному неравенству, следовательно,  является решением при  .  Если же  , то решением является любой   .

Приведу примеры решения еще нескольких заданий С5 из контрольно измерительных материалов ЕГЭ:

1.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения.

Преобразуем данную систему:

Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:

Количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы.

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.График первого уравнения – ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат на осях Ох и Оt, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r = |a|.

Система имеет 4 решения, так как графики уравнений системы пересекаются в четырех  общих точках. Значит,  окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию 3 < r < 4.В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда

Во  втором случае получаем 3 <|a |< 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.

Ответ: а = ± 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.

2.Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Введем  замену  поэтому  

Перейдем к системе: 

При подстановке выясняется, что ни при одном значении  число  не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию , графиком  является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено если выполняется одно из трех условий: Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции :

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть 

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть 

3)Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке

(0; 1])(см.рис. 3), то есть 

Решим систему 1:

Решим систему 2:

Решим систему 3:

Ответ: 

3.Найдите все значения , при которых уравнение  на промежутке  имеет ровно два корня.

Рассмотрим функции  и  Проанализируем   на промежутке 

 При  все значения функции  на промежутке  не положительны, а все значения функции  — положительны, следовательно,  при  уравнение не имеет решений на промежутке 

 При  функция  возрастает на промежутке , Функция  убывает на этом промежутке, следовательно, уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку 

 На промежутке  уравнение  принимает вид  Это уравнение сводится к уравнению  Будем полагать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня.

 Пусть уравнение имеет два корня, то есть  Тогда оба корня меньше 5, поскольку при  значения функции не положительны, а значения функции  положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда .

 Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке :1) Нет корней при 2) Один корень при 3) Два корня при  и 4) Три корня при 

Ответ: ; 

4.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

    имеет единственный корень.

Если  является корнем исходного уравнения, то и  является его корнем. Следовательно, уравнение имеет единственный корень, только если  то есть   Подставим значение  в исходное уравнение:

 откуда либо  либо  или 

При  исходное уравнение принимает вид:  Корнями этого уравнения являются числа  и   то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При  и при  уравнение принимает вид: 

При  это уравнение сводится к уравнению  которое не имеет корней. При  получаем уравнение  которое имеет единственный корень.При  получаем уравнение  которое не имеет корней.

При  и при  исходное уравнение имеет единственный корень. Ответ: 

Заключение

Итак, я рассмотрела некоторые приемы и способы решения заданий с параметром,  часто встречающиеся на ЕГЭ по математике, и сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

Моё  исследование подтвердило первоначальную гипотезу: общие методы решения заданий с параметром есть, их можно классифицировать. Да, я могу сказать, что научилась решать уравнения (неравенства) с параметрами, но я не собираюсь останавливаться на этом. Впереди у меня ещё целых три месяца для того, чтобы  наработать опыт решения таких заданий. В настоящее время я учусь дистанционно на курсах по подготовке к ЕГЭ в Томском государственном педагогическом университете и надеюсь, что материал, предлагаемый нам лектором, связанный с решением параметрических заданий, уже теперь не будет для меня совсем чужим.

Моя работа  может служить методическим материалом для факультативного курса в 10-11 классах. Для будущих выпускников я создала видео уроки  «Приемы и способы решения заданий с параметром на ЕГЭ по математике» Надеюсь, что высокие результаты ЕГЭ по математике  в нашей школе не заставят себя долго ждать!

Список литературы:

1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996.
2. Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. – Екатеринбург: УрГУ, 1996.
3. Иванов С.О. и др. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ-2013: задание С5.   
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами. Количество решений.
5. Козко А.И., Панферов В.С. ЕГЭ 2011.Математика. Задачи С5. Задачи с параметром. Издательство МНЦМО. Москва 2011г.
6. Лаппо Л.Д., Морозов А.В., Попов М.А. Математика. ЕГЭ. Издательство «Экзамен», Москва. 2011.
7. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа – Пресс, 1986.
8. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-Пресс, 1997.
9. Шарыгин И.Ф., В.И.Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. Москва «Просвещение». 1991 г.
10. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986. 

Интернет – ресурсы:

1. http://alexlarin.net Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор.
2. http://reshuege.ru "Решу ЕГЭ" - образовательный портал
3. http://ru.wikipedia.org  Википедия — свободная энциклопедия
4. http://www.ctege.info ЕГЭ. Подготовка к единому государственному экзамену в 2014 году.