Формула бинома Ньютона

Слайд 1

Формула бинома Ньютона ( а +b) 1 = a+b ; ( a+b ) 2 =a 2 + 2 ab+b 2 ; ( a+b ) 3 =a 3 + 3 a 2 b+ 3 ab 2 +b 3 ; ( a+b ) 4 =a 4 + 4 a 3 b+6a 2 b 2 + 4 ab 3 +b 4 . в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части; коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля. Числа, имеющиеся в первых четырёх 1 1 строках треугольника, полностью 1 2 1 совпадают с соответствующими 1 3 3 1 коэффициентами при одночленах 1 4 6 4 1 в каждой из четырёх формул. 1 5 10 10 5 1

Слайд 2

Для любого натурального значения n верна формула : Формулу называют обычно формулой бинома Ньютона (бином – двучлен), а коэффициенты , , , , …, , …, , - биномиальными коэффициентами.

Слайд 3

Примеры Раскрыть скобки в выражении: а) , б) . а) Применим формулу, считая, что a=x, b=3, n=6. Получим: Осталось вычислить биномиальные коэффициенты: , , , Таким образом, Т.е.

Слайд 4

б) . Применим формулу, считая, что в роли a выступает , а в роли b выступает - 3b. Получим: Осталось вычислить биномиальные коэффициенты: , , Таким образом,

Слайд 5

В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения . Получим: Если в этом тождестве положить x=1, то получим: