Исследовательская работа "Геометрия на клетчатой бумаге"

Районная научно-практическая конференция старшеклассников

«В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»

Геометрия на клетчатой бумаге

Исследовательская работа

                                   Выполнена ученицей

                                    9А класса СОШ № 17

                                 р. п. Юрты

                                                         Галбура Анной Константиновной

                                                       Научный руководитель-учитель

                                        математики СОШ № 17

                   р. п. Юрты

                                            Пузик Ирина Николаевна

                                                   р. п. Юрты, 2010

Оглавление.

1. Вступление. Общие сведения о задачах на клетчатой бумаге. (указать страницы)
2. Основная часть. Задачи на клетчатой бумаге.
3. Заключение.
4. Список используемой литературы.
5. Рецензия на работу. 

                                                        Вступление.

        Рассматриваемые задачи отличаются от обычных задач из действующих учебников и задачников по геометрии, и в тоже время они не требуют дополнительных сведений, направлены именно на обобщающее повторение основного курса геометрии 7 – 9-х классов, на его более глубокое освоение и понимание, выработку необходимых геометрических компетенций.

         Все задачи сопровождаются рисунками, которые можно использовать для дополнительных построений и вычислений. Построение отрезков, прямых и углов проводятся с помощью линейки, построения окружностей и их дуг – с помощью циркуля. В задачах на вычисление стороны квадратов сетки считаются равными единице.  

         Решение предлагаемых задач на клетчатой бумаге в большей степени, чем решение обычных задач, поможет развить геометрические представления учащихся, выработать необходимые вычислительные навыки, практические умения производить построение геометрических фигур, подготовиться к экзаменам и участию в олимпиадах по математике.  

                                           Основная часть .

  1.Через точку С проведите прямую, параллельную прямой АВ.

1.Соединим С и А.

2. Используя определение  и свойства параллелограмма ( DВ параллелен АС и DВ=АС) проведем DВ.

3. Соединим СD. Из равенства треугольников АСВ и DВС следует, что угол DВС= углу АВС ( как накрест лежащие при прямых СD и АВ и секущей СВ), значит СD параллельная АВ.

2. Найдите расстояние от точки А до прямой a.

1.Построим прямоугольник АВСD так, чтобы точка С принадлежала прямой а, и прямоугольник СКМО, так чтобы точка С была общей вершиной для этих прямоугольников.

2. СМ – диагональ прямоугольника СКМО. Проведем диагонали АС прямоугольника АВСD. Угол АВМ=900, так как треугольник ВОМ = треугольнику СВА и треугольники СКМ=СДА, значит АС перпендикулярен СМ, т. е. АС перпендикулярен а. АС - расстояние  от точки А до прямой а.

3. Найдем АС по т. Пифагора

    АС2=АD2+DС2

      АС=√22+12=√5, АС=√5.

3. Найдите периметр треугольника АВС.

1.Построим прямоугольник  СА1ВК, так чтобы отрезок СВ являлся диагональю прямо-          

угольника. Рассмотрим треугольник СА1В и по теореме Пифагора  вычислим СВ:                          

СВ2= СО2+ОВ2

СВ=√22+22=√8=2√2

2. Аналогично построим  прямоугольник   АВ1СМ так, чтобы отрезок АС являлся

диагональю прямоугольника. Рассмотрим треугольник АВ1С и по т. Пифагора:

АС2=АВ2+В1С2

АС=√32+22=√13

3. Построим прямоугольник АКВС1 так, чтобы отрезок АВ являлся диагональю прямоугольника. Рассмотрим треугольник АС1В и по т. Пифагора:

АВ2=АС12+ВС12; АВ = √42+12=√17

4. Найдем периметр треугольника АВС:

    Р=2√2+√13+√17

4. Постройте треугольник со сторонами, равными √5, √10,√13.

1.Для построения отрезков воспользуемся т. Пифагора:          

    АВ=√5=√22+12  - построим прямоугольник АВО с катетами ВО=2 и АО=1.  

    ВС=√10=√32 + 12  - построим прямоугольник ВСК с катетами СК=1 и ВК=3.

    АС=√13=√32 +√22 – построим прямоугольник САМ с катетами АМ=2 и СМ=3.

2.Начнем с построения стороны СВ, т. е. треугольника СВК.

    Аналогично построим стороны АВ и АС.

5.Постройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются точки А, В, С, а вершина D находится в узле сетки.

  1.Соединим точки А и В. Построим прямоугольник АОВК так, чтобы АВ являлся диагональю.

2. Построим прямоугольник DМCХ равный прямоугольнику АОВК.

3. Проведем в прямоугольнике DМСХ диагональ  СD.

4. Из равенства прямоугольников следует  параллельность сторон  DС и АВ.

5.Соединим точки С и В. Построим прямоугольник УСРВ так, чтобы СВ являлся диагональю.

6.Соединим точки А и С. Построим прямоугольник  с диагональю АD.

7.Из равенства прямоугольника следует параллельность сторон АD и ВС.

8. Рассмотрим четырехугольник АВСD: противолежащие стороны DС и АВ, АD и ВС параллельны, то АВСD – параллелограмм.

6.Нарисуйте высоту трапеции АВСD, опущенную из вершины В. Найдите её длину.

1.Построим квадрат ОВКН, ВН – диагональ.

2. Построим квадрат АОНК равный квадрату ОВКН, где АН – диагональ.

3. Так как квадраты ОВКН и АОНК равны и имеют общую сторону ОН, то угол АНВ – прямой, следовательно ВН перпендикулярен АН, а значит ВН перпендикулярен АD, то ВН – высота.

7.Найдите площадь треугольника АВС.

1.Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S=½АС×ВН, где ВН - высота.

2.Проведем высоту ВН,  ВН=4 см.

3. Найдем АС, АС=4 см.

4. Вычислим SАВС=(4×4)÷2= 8 см2

8. Найдите площадь трапеции АВСD.

1.Проведем ВН.

2.Рассмотрим четырехугольник НВСD: СD=DМ=ВМ=ВС как гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 2 см и 1 см и из равенства треугольников следует, что все углы прямые, тогда четырехугольник – квадрат, т. е. СD=ВН=√22+12=√5 см.

3. Найдем ВС по т. Пифагора ВС=√22+12=√5 и ВС=НD=√5 см.

4.Рассмотрим треугольник АНВ: ВН=√5 см. Найдем АН, по т. Пифагора АН=√22+12=√5 см.

5. По формуле площади трапеции:

   S = (BC+AD) ÷ 2, то АD=АН+НD=√5+√5=2√5 см.

   S = ((√5+2√5) ÷ 2)×√5= 7,5 см2.

Заключение.

        Задачи на клетчатой бумаге – хорошая альтернатива обычным задачам по геометрии. Ясная формулировка, готовый рисунок – все это помогает ученику правильно рассмотреть задачу и сконцентрироваться на ее точном решении.

        Я считаю, что изученная мною новая тема, будет интересна многим и сможет привлечь остальных учащихся к разным видам решению задач.

        Изучая эту тему, я подготовилась к решению экзаменационных задач на Едином Государственном Экзамене.

        И я надеюсь, что такие задачи приобретут большую распространенность среди учащихся 9-11 классов.

                                          Список используемой литературы.

1. П. И. Алтынов, И. И. Баврин, Е. М. Бойченко и др. « Большой справочник математика». Дрофа. Москва – 2006 год.

2.А. Л. Семенова, И. В. Ященко «Математика. ЕГЭ 2010».

3.И. Смирнова, В. Смирнов «Геометрия на клетчатой бумаге».Чистые пруды. Москва – 2009 год.

Рецензия

на исследовательскую работу обучающейся МОУ СОШ № 17 9 «А» класса

         Галбура Анны по теме: «Геометрия на клетчатой бумаге»    

Данная тема выбрана автором не случайно. Вопросы принятия наилучших (оптимальных) решений стали в настоящее время весьма актуальными, особенно в экономике, технике, военном деле и других областях человеческой жизни. «Геометрия на клетчатой бумаге»- один из способов решения геометрических задач. Эта тема является актуальной, так как даёт возможность хорошего усвоения работы с квадратами, прямоугольниками, прямоугольными треугольниками, а так же их свойствами; отработки навыков применения теоремы Пифагора.

    Цель работы- повторение основного курса геометрии 7 – 9-х классов, на его более глубокое освоение и понимание, выработку необходимых геометрических компетенций. В работе рассмотрено восемь задач с выполненными дополнительными построениями и полным описанием решения, две из которых взяты из «Типовых тестовых заданий ЕГЭ 2010». В работе обобщён большой материал по данной проблеме, что способствует углублению и расширению знаний по математике, привитию интереса к предмету.

    Работа начинается с введения где даётся краткая характеристика работы и раскрывается её актуальность. В основной части автор рассматривает решение геометрических задач с выполнением дополнительных построений.

     Автором проработана специальная литература по математике. В результате сделаны свои выводы, используя знания, полученные из дополнительной литературы.

    В целом работа грамотно оформлена, выдержана структура работы.

    Практическая значимость данной работы не вызывает сомнения, так как информационный материал можно использовать при изучении геометрии, на факультативных и индивидуальных занятиях (9-11 классов) и элективных курсах, а так же для подготовки к ЕГЭ. Автор работы также признаёт её ценность для себя, так как планирует связать свою профессию с математикой.

                                                                            05.03.2010год.

                                                                         Пузик Ирина Николаевна.