Числовые последовательности. Реферат. Презентация.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №31»
города Барнаула

Числовые последовательности

Реферат

Работу выполнила:
Оганесян Ева,
ученица 8 г класса МБОУ «СОШ №31»
Руководитель:
Полева Ирина Александровна,
учитель математики МБОУ «СОШ №31»

Барнаул - 2014

Содержание

Введение………………………………………………………………………2

Числовые последовательности.……………………………………………...3

Способы задания числовых последовательностей………………………...4

Развитие учения о прогрессиях……………………………………………..5

Свойства числовых последовательностей…………………………………7

Арифметическая прогрессия……………………………..............................9

Геометрическая прогрессия……………………………………………….10

Заключение …………………………………………………………………11

Список  литературы…………………………………………………………11

Введение

Цель настоящего реферата – изучение основных понятий, связанных с числовыми последовательностями, их применение на практике.
Задачи:

1. Изучить исторические аспекты развития учения о прогрессиях;
2. Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей;
3. Познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность  есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

 Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Числовые последовательности

Существуют различные определения числовой последовательности.

Числовая последовательность – это последовательность элементов числового пространства (Википедия).  

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Функцию вида y = f (x), x называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n)   или

 ,  , , …,   Для обозначения последовательности используется запись ().

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д., таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 ….

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n.

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

; ;;;; … .

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна   . Так, на шестом месте должна стоять дробь  , на тридцатом - , на тысячном – дробь  .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.  Например: ,  ,  и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают  . Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел.10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Способы задания числовых последовательностей

Последовательности можно задавать несколькими способами.

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего n-го члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер. В этом случае говорят, что последовательность задана аналитически. Например: последовательность положительных чётных членов  =2n.

Задача: найти формулу общего члена последовательности (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

n=1:  6 = 23 =  3 =

n=2: 20 = 45 =  5 =

n=3: 56 = 87 =  7 =

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента. Таким образом, делаем вывод, что

Ответ: формула общего члена:  

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. Формулу,  выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого   через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).

В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

  + , n N, = 1.

Задача: последовательность  задана при помощи рекуррентного соотношения    + , n N, = 4. Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

  +  =

Аналогично находим далее, что

  +  =       +  =   и т.д.    

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения  надо найти все предыдущие 499 членов.

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1 . «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Развитие учения о прогрессиях

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIв в.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него.

 +  + + ... +  = 1/6n(n+1)(2n+1)

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IX в.) пользовался формулой:  +  + + ... +  = 1/6n(n+1)(2n+1) и другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2++…+. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

Sn=+(-1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Ограниченные последовательности

Последовательность  () называется ограниченной сверху, если существует такое число M  , что для любого номера n ,  M.

Последовательность  ()  называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для любого номера n ,   m.

Последовательность  () называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число M 0 , что для любого номера n ,  M.

Последовательность ()  называется неограниченной, если существует такое число M 0  , что существует такой номер n , что ,  M.

Задача: исследовать последовательность  = на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера n выполняются неравенства:

                                         0    1,

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ: последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Возрастающие и убывающие последовательности

Последовательность () называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... — возрастающая последовательность.

Последовательность ()  называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Например,  1;   -  убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. Приведем еще несколько примеров.

1; -  эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).

 =2n. Речь идет о последовательности  2, 4, 8, 16, 32, ...  — возрастающая последовательность.

Вообще, если a > 1, то последовательность =  возрастает;

если 0 < а < 1, то последовательность = убывает.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность  заданная рекуррентно соотношениями

= = x, = =  + d, (n = 2, 3, 4, …;    a и d – заданные числа).

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой = 1, d = 2.

Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой= 20, d = –3.

Пример 3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1:      1; 5; 9; 13; 17; 21 …

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение  через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

=  + d (n – 1).  Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

  -  это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего, действительно,  

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( заданная рекуррентно соотношениями

= b,  =q    (n = 2, 3, 4…;        b и q – заданные числа).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия

 = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия   = 2, q = –1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.  ; ;…-

является геометрической прогрессией, первый член которой равен , а знаменатель – .

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

 Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов,

= .

Заключение

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович,  Алгебра, 10 класс, учебник, 2012г.
2. А.Г. Мордкович,  Алгебра, 9 класс, учебник, 2012г.
3. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа», 2001г.
4. Г.И.  Глейзер,  «История математики в школе»,

М.: Просвещение, 1964г.

5. «Математика в школе»,  журнал, 2002г.
6. Образовательные онлайн сервисы Webmath.ru
7. Универсальная научно-популярная онлайн-энциклопедия  «Кругосвет»