Решение тригонометрических уравнений (урок одной задачи)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 16

 «Решение тригонометрических уравнений»

(урок одной  задачи)

                                                                                           Автор: ученик 10 класса

                                                                                           МКОУ СОШ №16г. Бирюсинска

                                                                                           Стецко Георгий

                                                                                            Консультант учитель высшей  

                                                                                            квалификационной категории

                                                                                            МКОУ СОШ №16 г. Бирюсинска

                                                                                            Алексеева Татьяна Петровна

г. Бирюсинск -2013

Тема урока: Урок одной задачи по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель урока: Применяя изученные тригонометрические формулы, попытаться решить  одно тригонометрическое уравнение различными способами. Поставим цель урока в соответствии с темой урока: Рассмотрим решение  уравнения sinx – cos x = 1 несколькими способами  

                                                         Ход урока.

Учитель:     «У нас сегодня необычный урок. Можно сказать это урок – творческий отчет о проделанной работе группы учеников. В группу входили 6 человек, которые  разобрали несколько различных способов решения уравнения sin x – cos x =1,  и сегодня вас с ними познакомят. Идея такой работы принадлежит Стецко Георгию, группа работала под его руководством, причем полностью самостоятельно»

Выступления учащихся:

Георгий:  «Я представлю решение данного уравнения приведением уравнения  к однородному  относительно  синуса  или косинуса:.

                                    sin x – cos x =1.  

 Разложим левую часть по формуле двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:

           sin x = 2 sin x/2 cos x/2; cos x = cos2 x/2 – sin2 x/2; 1 = sin2x + cos2 x.

           2sin x/2 co sx/2 –cos2x/2 + sin2x/2 = sin2x/2 +cos2x/2

           2sin x/2 co sx/2 – 2cos2x/2 = 0

           cos x/2 (sin x/2 – cos x/2) = 0

           cos x/2 = 0               или        sin x/2 – cos x/2  = 0 – это однородное уравнение первой    

x/2 = π /2 + π k,  k  Z,                 степени. Делим обе части уравнения на cos x/2, cos x/20,          

x = π + 2 π k,  k  Z                         т.к. если  cos x/2 = 0, то  sin x/2 =0, но синус и  косинус    одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю                                                                                              

                                                      в силу основного тригонометрического тождества.

                                              Получим:  tq x/2 = 1,

                                                                 x/2 =  /4 +  n  n  Z

                                                                  x =  /2 +2 n   n  Z

Ответ: x = π + 2π k,  k  Z ,    x = π /2 +2π n ,  n  Z.                          

 Александр: «Мой метод  разложение левой части уравнения на множители.»                                                                                                               

  sin x – cos x =1.         sin x   - (1 + cos x) = 0;

1 + cos x = 2 cos2 x/2;    sin x= 2 sin x/2 cos x/2;

2sin x/2 cos x/2 - 2 cos2 x/2 =0;

cos x/2(sin x/2 – cos x/2) = 0.       Далее так, как в первом способе.

Анна: «Разберем решение данного уравнения введением вспомогательного угла».

  sin x – cos x =1. В левой части вынесем    - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinх и cosх вынесем за скобки, получим     

Георгий: «Внешне ответ другой, но с помощью тригонометрического круга можно установить, что это решение распадается на два случая:

 Максим: «Есть еще один способ решения данного уравнения: преобразование разности функций в произведение».

sin x – cos x =1.

Запишем уравнение в виде: sin x – sin(π /2 - x )=1.

Применим формулу разности двух синусов: sin α - sin β = 2 sin (α+ β)/2 cos (α - β)/2.

Далее так, как в третьем способе.

Ирина: «Я представлю способ приведения к квадратному  уравнению  относительно одной  из функций».      

  sin x – cos x =1.

Возьмем в квадрат:

При решении уравнения обе части возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Выполним её:

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений:

Первое и второе решение  совпадают с ранее полученными,  поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим:

Левая часть равна -1,        а правая часть уравнения равна 1,                         следовательно, это решение является посторонним.

 Ответ: x = π + 2 πk  k  Z ,    x = π /2 +2π n,   n  Z.                            

Наталья: «Этот способ хорошо нам известен: возведение обеих частей уравнения в квадрат».

sin x – cos x = 1

(sin x – cos x)2 = 1

sin2x – 2sin x cos x + cos2 x = 1

1 -2 sin x cos x = 1

sin 2x = 0

x=π/2 + πk, k   Z                          

    Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

После проверки устанавливается факт, что первое и четвёртое решения - посторонние.

 Ответ: x = π + 2π  k;  k  Z ,    x = π /2 +2π n;   n  Z.                            

Георгий:  «Рассмотрим еще один способ, -это выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:

          sin x – cos x =1

Умножаем обе части уравнения на  1 + tg2 x/2.

Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R При переходе к tg x/2  из рассмотрения выпали значения, при которых        tg x/2   не имеет смысла, т.е. x = π + 2π  k;  k  Z .Следует проверить, не является ли  x = π + 2π  k;  k  Z  решением данного уравнения.

Левая часть sin(π + 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = π + 2πk;  k  Z является решением данного уравнения.

Ответ: x = π + 2πk;  k  Z ,    x = π /2 +2πn;   n  Z.                              

Анна: «Уравнение легко решить графически»

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения.  Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения,

у = sin х - график синусоида.у = (соs х – 1) – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Домашнее задание: решить разными способами уравнения:

Закрепление : групповая работа представлена работой 5 групп.

Задание:  решить  уравнения:   

     1.  sin2x + cosx = 0 ;         2. √3 sin x – cos x = 0           3.  sin6x + sin3x = 0;

    4. sin2x +cos2x = 1;           5. √ 3sin x + cos x = 1.

 Отчет о работе групп: Учащиеся обсуждают, какие решения оказались более доступными, почему, оценивают работу каждого ученика в своей группе.

Рефлексия: Какие способы решения уравнения вида а sin x + b sin x = 1 (0) узнали сегодня на уроке? Подведем итоги работы учащихся в группах, как  была организована работа группы, как работал каждый член группы, что вызвало затруднение, оценки каждому ученику и группе в целом, что понравилось на уроке, что не понравилось, предложения по уроку. Оценка самостоятельной (поисковой )работы группы Георгия

Итог урока:  выполнена ли цель урока, как подготовилась к уроку творческая группа, положительные и отрицательные моменты  в ходе урока.

Творческая группа  выбрасывает плакат: Георгий: «Урок хочется закончить словами английского математика и педагога 20-го века Сойера: Человеку, изучающему алгебру  часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить,  какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»