Дистанционная олимпиада

Государственное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №473 с углубленным изучением предметов художественно-эстетического цикла

калининского района Санкт-Петербурга

Всероссийская дистанционная олимпиада по математике

для 5-11 классов.

Выполнила ученица 5А класса

Филатова Анна Евгеньевна

Санкт-Петербург

2011 г.

1. Как разрезать квадрат со стороной 30 м 15 см на 2010 одинаковых треугольников?

Решение:

Разделим две противоположные стороны квадрата на отрезки длиной 3 см. Соединяя концы получившихся отрезков, получим 1005 одинаковых прямоугольников. Проведя в каждом прямоугольнике диагональ, получим 2010 одинаковых треугольника.

3 см

2. На острове Буяне четыре королевства, причем каждое граничит с тремя остальными. Нарисуйте карту острова так, как вы ее себе представляете.

Решение:

3. Напишите самое маленькое  четырёхзначное число, которое при  делении на 6 даёт в остатке 5.

Решение:

Самое маленькое четырёхзначное число 1000, без остатка на 6 делится 1002 и получается 167, учитываем  остаток 5, тогда получается:

1002+остаток 5=1007

Делим 1007 на 6 и получаем 167 и остаток 5

4. На книжной полке стоят тома в следующем порядке: 1,2,6,10,3,8,4,7,9 и Расставьте их по порядку  с первого по десятый, но брать можно лишь по два соседних тома и ставить их вместе на другое место (не разъединяя). Выполните задание переставив всего 3 пары.

Решение:

1,2,6,10,3,8,4,7,9,5

1,2,3,8,4,7,9,5,6,10

1,2,3,4,7,8,9,5,6,10

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

5. Как набрать из озера 8 л воды, имея только 9 и 5 литровые ведра?

Решение:

Необходимо налить воды в 9-литровое ведро и перелить в 5-литровое ведро, тогда в 9-литровом останется только 4 литра. Далее
пятилитровое ведро надо опустошить, в него налить 4 литра.
Снова из озера набрать  9-литровое ведро и  налить  в пятилитровое до наполнения (можно отлить только 1 литр).
Таким образом, в  9-литровом ведре остается 8 литров.

6. Запишите подряд 19 семёрок: 7777…7. Поставьте  между некоторыми  цифрами знаки арифметических действий «+» или «-» так, чтобы в результате получилось число 2009.

Решение:

Число 2009 должно делиться на 7

2009:7=287

Значит в 2009 помещается 287 семёрок.

Начинаем разбивать 19 семёрок на суммы:

777 – это 111 семёрок

777+777 – это 222 семёрки, а нам надо 287

Остальные семёрки разбиваем на:

77+77+77+77+77+77  - это 11 чемёрок 6 раз= 66 семёрок

222+66=288, а нам надо 287, значит одну семёрку надо отнять

Тогда получаем:

777+777+77+77+77+77+77+77 -7 = 2009

7. Внутренние покои султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 ×10. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. Сколько дверей во дворце.

Все горизонтальные внутренние стены (вид сверху) будут делится на 10 слева направо и 9 сверху вниз, итого 90, а с вертикальными наоборот, тоже 90.

Итого 180 стен, соответственно 180 дверей.

8. Ширина прямоугольного параллелепипеда в 4 раза меньше высоты, а высота меньше длины в 2 раза. Вместе длина и высота составляют 60 см. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

Решение:

Условие:

с = 2а

а = 4в

а + с = 60 см

V= SH= abc

а + с = а + 2⋅а = 60 см

а ⋅ (2+1) = 60 см

а = 60 : 3 = 20 см

в = 20 : 4 =5 см

с = 2 ⋅ 20 = 40 см

V = a⋅b⋅c = 20⋅5 ⋅ 40 = 4000 см 3

9. На листе бумаги нарисован круглый циферблат часов с 60 точками, обозначающими минуты. Двое поочередно проводят отрезки прямых, соединяющих две произвольные точки.  Не разрешается проводить отрезок, пересекающий другие отрезки, но они могут иметь разные концы. Проигрывает тот, кто не сумеет провести отрезок. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнер?

 Решение: Выигрывает начинающий. Своим первым ходом он соединяет любые две диаметрально противоположные точки. На последующих ходах он строит отрезок, симметричный относительно этого диаметра последнему отрезку, проведенному вторым игроком.