Линейная функция в физических процессах

Характеристическое свойство функции.
Рассмотрим два значения аргумента
х
1
и
х
2
, им соответствует значение линейной функции
y=ax
1
+b
1

и
y=ax
2
+b
2
.
Изменение аргумента на величину
х
2
-х
1

вызывает изменение функции на величину
у
2
–
у
1
=
а(х
2
–
х
1
)
, при этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно
а
:
у
2-
у
1
=а
х
2
-х
1
Таким образом у линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента, а это есть характеристическое свойство линейной функции. Поэтому с помощью линейной функции описывают пропорциональные зависимости.
Например, температура кипения воды
Т
и атмосферное давление
р
связаны функциональной зависимостью, ибо каждому значению
Т
соответствует одно определенное
р
и обратно. Так, если
Т
=100 градусов
С
, то
р
непременно равно 760 мм ртутного столба; если
Т
= 70 градусов
С
, то
р
= 234 мм ртутного столба и т. д.
Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида
у=
kx
, где
k
– не равное нулю число.
Свойства функции
у=
kx
.
1. Область определения – вся числовая прямая.
2. Функция нечетная.
3. При
k<0

– функция убывает, при
k

>
0

– функция возрастает.

7
При движении тел между ними возникают силы трения.
Сила, возникающая при взаимодействии поверхности одного тела с поверхностью другого тела, когда тела неподвижны, либо перемещаются относительно друг друга, называется силой трения.
Силу трения можно измерить.
Если равномерно перемещать динамометр, а соответственно и прикрепленный к нему брусок вдоль стола, то динамометр покажет силу, действующую на брусок. Так как движение равномерное, то приложенная к бруску сила равна по модулю силе трения.
2.5. Движение при наличии трения
12
Оглавление
стр.
1. Введение……………………………………………………………………3
2. Основная часть
Глава 1. Общие свойства функции………………………………………….4
1. 1. Линейная функция и ее свойства ……………………………………..6
Глава 2. Линейная функция в физических процессах…………………….8
2.1. Перемещение при прямолинейном равномерном движении…………8
2.2. Эксперимент. Зависимость перемещения от времени при постоянной

скорости …………………………………………………………………9
2.3. Измерение сил. Закон Гука …………………………………………...10
2.4 Эксперимент. Определение зависимости действующей силы от удлинения

пружины…..…………………………………………………………….11
2.5. Движение при наличии трения ……………………………………….12
2.6. Эксперимент. Определение зависимости между силой трения и весом
тела.………………………………………………………………………13
3. Заключение………………………………………………………………..14
4. Список использованных источников и литературы……………………15
2
1. 1. Линейная функция и ее свойства
Рассмотрим линейную функцию и ее свойства.
Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида
у =
k
х
+b
,
где
х
– независимая переменная,
k
и
b

– некоторые числа.
Свойства функции.
Область определения – вся числовая прямая.
Функция не является ни четной, ни нечетной.
При
k<0

– функция убывает, при
k

>
0

– функция возрастает.
Графиком линейной функции является прямая, составляющая с положительным лучом оси
х
угол
α
и проходящая через точку
(0;
b)
на оси ординат.
6
2.4. Эксперимент.
Определение зависимости действующей силы от удлинения пружины
Цель: определить вид зависимости действующей силы от удлинения пружины.
Оборудование: динамометр, бруски весом 1 Н, линейка.
Ход эксперимента:
Подвесим брусок весом 1 Н на пружину динамометра. Измерим с помощью линейки на сколько сантиметров растянулась пружина. Повесим второй брусок и опять измерим длину пружины и т. д. Запишем результаты измерений опыта в таблицу.

Вывод: построив график мы сделали вывод, что удлинение пружины линейно зависит от действующей силы.
Примечание: закон Гука действует только при относительно небольших сжатиях или растяжениях . Вещество сохраняет свои упругие свойства, если сила деформации прямо пропорциональна ее величине. Мы имеем дело с линейной системой, где каждому значению приложенной силы соответствует равное значение деформации. Если же преодолеть предел эластичности, то связи пружины внутри вещества сначала ослабевают, затем рвутся и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее, говорят, что система стала нелинейной.
Вес бруска (Н)
1
2
3
4
Длина пружины (см)
2
4
6
8
11
МКУ «Управление образования Исполнительного комитета
Елабужского муниципального района»
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №5»
Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Муниципальная ученическая научно-практическая конференция
«Поиск и творчество»
СЕКЦИЯ ФИЗИКА
Линейные функции в физических процессах
Исследовательская работа


Выполнена учеником
11 А класса
МБОУ «СОШ №5» ЕМР РТ
Музловым Егором Евгеньевичем


Научный руководитель –
учитель физики
МБОУ «СОШ №5» ЕМР РТ
Шилина Валентина Васильевна

Елабуга, 2014
4
.
Список использованной литературы
1. Марон А.Е.,
Позойский
С.В. , Марон Е.А. “Сборник вопросов и задач по физике: для 7-9 классов общеобразовательных учреждений”, Москва, “Просвещение”, 2005. – 253 с.
2. Хуторской А.В., Хуторская Л.Н., Маслов И.С. “Как стать ученым”, Москва, “Глобус”, 2007. – 317с.
3.
Булынин
В., Применение графических методов при решении текстовых задач, учебно – методическая газета “Математика”, № 14, 2005.
4. Бродский И.Л.,
Видус
А.М.,
Коротаев
А.Б., Сборник текстовых задач по математике для профильных классов, 7 – 11 классы, “АРКТИ”, М., 2004.
5. Макарычев Ю. Н.,
Миндюк
Н. Г.,
Нешков
К. И., Суворова С. Б., Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, “Просвещение”, М., 2000.
6. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. М. Педагогика, 1989.
15
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5
В окружающем нас мире все находится в непрерывном движении и изменении. Движение – неотъемлемое свойство материи. Нет и не может быть материи без движения и движения без материи. Но, двигаясь, тела встречаются друг с другом и взаимодействуют. Взаимодействие тел может происходить по-разному. Например, одну и ту же пружину ребенок растянет меньше, чем взрослый человек. Для характеристики взаимодействия тел в физике введена особая величина – сила.
Сила – векторная величина, характеризующая механическое действие одного тела на другое и являющаяся мерой этого действия.
Рассматривая взаимодействия тел и возникающие при этом деформации, английский физик Роберт Гук пришел к выводу, что абсолютное удлинение при упругих деформациях прямо пропорционально приложенной силе.
Формула:
F=

–

kl

,
где
k
– коэффициент, характеризующий пружину, называемый жесткостью.
2.3. Измерение сил. Закон
Гука
.

10
Основная часть

Глава 1. Общие свойства функции


Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1962 г. у Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716), правда в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу швейцарский ученый Бернуолли Иоганн (1667-17480. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала
XIX
века.
Рассмотрим определение функции, способы ее задания и некоторые ее свойства.
Числовой функцией с областью определения
D
называют соответствие, при котором каждому числу
х
из множества
D
сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от
х
. Переменную
х
называют независимой переменной или аргументом. Число
у
, соответствующее числу
х
, называют значением функции
f 
в точке
х
, обозначают
f 
(
х
) и используют запись
у = f 
(
х
)
Способы задания функции.
1. Аналитический способ – это способ задания функции с помощью формул. Такой способ задания функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах.
2. Табличный способ – это способ задания функции с помощью таблицы. Часто используется в математике: таблицы квадратов и кубов чисел, таблицы логарифмов.
3. Графический способ – это способ задания функции с помощью графика.
Функция
у = f 
(
х
) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента
х
верно равенство
f 
(-
х
)
= f 
(
х
)
Функция
у = f 
(
х
) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента
х
верно равенство
f 
(-
х
)= -
f 
(
х
).
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции

4
После проведенных мной исследований я пришел к следующим выводам:
- линейная функция одна из важнейших функций;
- многие зависимости в механике (между силой трения и весом тела, действующей силы от удлинения пружины, перемещения от времени при постоянной скорости) выражены линейно.
Классический аппарат естествознания был создан, прежде всего, на линейной основе, равным изменениям одной независимой величины должны непременно отвечать равные перемены зависимой. И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа, однако не укладывается в рамки пусть строгой и стройной, но, увы, чересчур идеальной схемы. Вне этих рамок - но ближе к реальности, властвует нелинейность. Законы природы естественным образом формируются на языке математики.

3. Заключение
14
2. 2. Эксперимент.
Зависимость перемещения от времени при постоянной скорости.
Цель:

Определить вид зависимости перемещения от времени при прямолинейном равномерном движении.
Оборудование: секундомер, рулетка, планшетка.
Ход эксперимента:
Необходимо идти по дороге с постоянной скоростью. Через каждые пять секунд отмечаю, какое расстояние пройдено. Пройдя так, у меня получилась таблица, в которой отражены результаты эксперимента.
Вывод: как показано на графике перемещение тела линейно ( или почти линейно) зависит от времени при постоянной скорости.
Время, (с)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Расстояние, (м)
5
10,2
15
19,6
24,3
29
33,6
38,2
44,6
9



Природа формулирует свои законы языком математики.
Г. Галилей

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и что особенно важно взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности встречаются количественные соотношения, и математика изучает их в свойстве чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы и их взаимодействия, которые на математическом языке называют функциональными зависимостями, или функциями.
Линейная функция и ее свойства являются весьма существенным звеном при изучении курса математики. Многие физические законы, пространственно-временные формы жизни и их количественные отношения выражаются с помощью линейной функции, поэтому исследование данного вопроса является актуальным.
Цель проведенной мной работы: исследовать линейную функцию и ее свойства, убедиться в существовании линейной зависимости между некоторыми объектами механики: перемещения от времени, действующей силы от удлинения пружины, силой трения и весом тела.
Для достижения поставленной в работе цели мной решались следующие задачи: - изучить понятие функции и ее общих характеристик;
- ввести понятие линейной функции и ее свойств;
- экспериментально убедиться в существовании линейной зависимости между некоторыми объектами механики.
Объектом моего исследования является линейная функция, ее свойства, зависимость перемещения от времени, действующей силы от удлинения пружины, между силой трения и весом тела.
В работе использовались следующие методы исследования: аналитический, сравнительный, обобщения, эксперимент, изучение публикаций по данному вопросу.
3
Введение
Глава 2. Линейная функция в физических процессах
Линейная функция простейшая и, можно сказать, одна из важнейших среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции.
Например, по закону Роберта Гука (1635 – 1703) при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости
F
пропорциональна величине
х
–

удлинению пружины:

F=
–
kx
.
Другой пример, закон Ома Георга Симона (1787 –1854): напряжение линейно зависит от силы тока
I
, именно
U=IR
,
здесь
R

– сопротивление, однако этот закон также справедлив при не очень больших изменениях силы тока.
Рассмотрим существование линейной зависимости между некоторыми объектами механики.

2.1. Перемещение при прямолинейном равномерном движении.

Равномерным называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит соответственно равные расстояния. Для характеристики геометрических свойств движения вводятся такие понятия, как «траектория», «система отсчета» и такие величины, как «путь», «перемещение».

t
–

время движения;


υ

– скорость передвижения
Формула скорости
:

υ
=

Из формулы скорости следует, что перемещение тела при равномерном движении находится по формуле:
S=
υ
t
.

Формулу движения

называют уравнением движения. Полученная формула описывает уравнение прямолинейного равномерного движения.
 
8
Цель: определить вид зависимости между силой трения и весом тела.
Оборудование: динамометр, бруски 1Н.
Ход эксперимента:
Положим на стол брусок массой 1Н и будем передвигать его с помощью пружины динамометра. Зафиксируем результат, показанный динамометром. Увеличим вес груза, передвинем брусок еще на некоторое расстояние, зафиксируем результат. И так далее, увеличивая вес брусков. Результат запишем в виде таблицы.
Вывод: по графику видим, что сила трения линейно зависит от вес бруска.
2.6. Эксперимент.
Определение зависимости между силой трения и весом тела
Вес (Н)
2
3
4
5
Сила трения (Н)
0,2
0,4
0,6
0,8
13